2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство Пуанкаре для ненулевой границы
Сообщение21.03.2016, 15:23 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Случай интервала, dim=1

Неравенство Пуанкаре для функции $ u:[a,b] \to \mathbb{R}, u(a)=0, u(b)=0, $
где $u \in C^{1}_{0}\Big((a,b)\Big),  [a,b]\subset \mathbb{R},$ выглядит так
$$ \int_{a}^{b} u^{2}(t) dt \leqslant (b-a)^{2} \int_{a}^{b} \Big(\frac{du}{dt}\Big)^{2} dt $$
Для доказательства используем формулу Ньютона-Лейбница
$ u(t) = \underbrace{ u(a)}_{=0} + \int_{a}^{t} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds.$
Возводим это тождество в квадрат и интегрируем по интервалу $[a,b]$
$$ \int_{a}^{b}  u^{2}(t)dt \leqslant \int_{a}^{b} \Big( \int_{a}^{t} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds \Big)^{2}dt \leqslant ...$$
Используя неравенство Коши, получаем
$$ ... \leqslant  \int_{a}^{b} (b-a)  \int_{a}^{t} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds  dt \leqslant   (b-a)^{2}  \int_{a}^{b} \Big(\frac{du}{ds}\Big) ds , $$

что и требовалось доказать.

Случай нулевой границы, dim=2
В этом случае $\Omega \subset \mathbb{R}^{2}, \quad  u : \Omega \to \mathbb{R}, \quad u(x,y)=0 \quad \forall (x,y) \in \partial \Omega. $
Неравенство Пуанкаре принимает вид
$$ \int_{\Omega} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant L^{2} \int_{\Omega}  \mid \nabla u(x,y) \mid ^{2}dx dy$$
Рассмотрим квадрат $\mathbb{Q} =[0,L] \times [0,L]$,
так как любую подобласть $\Omega\subset \mathbb{R}^{2}$
можно заключить в $\mathbb{Q} =  [0,L] \times [0,L]$,
тривиально продолжив $ u_{\mid_{\mathbb{Q}\setminus \Omega}}=0.$
Тогда
$ u : \mathbb{Q} \to \mathbb{R},\quad  u(0,y)=0 \quad \forall y, \quad u(x,0)=0 \quad \forall x$
По формуле Ньютона-Лейбница $$ u(x,y) =\underbrace{ u(0,y)}_{=0} + \int_{0}^{x}\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi} d\xi $$
Возведём обе части в квадрат и применим неравенство Коши
$$ \mid u(x,y) \mid ^{2} = \Big(  \int_{0}^{x}\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi} d\xi \Big)^{2} \leqslant \int_{0}^{x}d\xi \int_{0}^{x} \Big| \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big| ^{2} d\xi  \leqslant L \int_{0}^{L} \Big| \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big| ^{2} d\xi $$
Проинтегрировав это неравенство по всему квадрату, получим
$$ \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx  dy \leqslant L \int_{0}^{L} dx \int_{0}^{L} \int_{0}^{L} \Big| \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big| ^{2} d\xi dy \leqslant L^{2} \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \Big|\frac{\partial u(x, y)}{\partial x}\Big| ^{2} dx dy$$
Совершенно аналогично получаем такое же неравенство для частной производной по $y$
$$ \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx dy \leqslant L^{2} \int_{0}^{L}\int_{0}^{L}\Big|\frac{\partial u(x, y)}{\partial y}\Big| ^{2} dx dy$$
Складывая оба неравенства и отбрасывая фактор 2, получаем желаемое
$$ \int_{0}^{L}\int_{0}^{L} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx  dy \leqslant L^{2} \int_{0}^{L}\int_{0}^{L}  \mid \nabla u(x,y) \mid ^{2} dx  dy$$

что и требовалось доказать.
Случай ненулевой границы, dim=2
Рассмотрим случай, когда не весь квадрат имеет ненулевую границу, а только один её отрезок. Пусть для определённости это будет $ [0, x_1].$ Для всех $x$ из отрезка $ [0, x_1] $ пусть $ u(x,0) = 0.$
Применим формулу Ньютона- Лейбница при условии $x>x_1, \quad \tilde{x}< x_1 $
$$ u(x,y) - \underbrace{u(\tilde{x}, 0)}_{=0} = \int_{\tilde{x}}^{x} \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}d\xi  + \int_{0}^{y} \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}d\eta $$
Возведём обе части в квадрат
$$ \mid u(x,y) \mid ^{2} = \Big( \int_{\tilde{x}}^{x} \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}d\xi  + \int_{0}^{y}\frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}d\eta  \Big)^{2} \underbrace{\quad \leqslant \quad}_{2ab \leqslant a^2 + b^2} 2 \Big( \int_{\tilde{x}}^{x} \frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}d\xi  \Big)^{2} + 2\Big( \int_{0}^{y} \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}d\eta  \Big)^{2}  \leqslant ...$$
С помощью неравенства Коши и увеличив область интегрирования, получим
$$ \mid u(x,y) \mid ^{2}  \leqslant 2L \int_{0}^{L} \Big|\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big|^{2}d\xi + 2L \int_{0}^{L} \Big| \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}\Big|^{2}d\eta$$
Позволим теперь точке $(x,y)$ быть любой и
проинтегрируем неравенство по всей области $ \mathbb{Q}$ :
$$ \int_{\mathbb{Q}} \mid u(x,y) \mid ^{2} dx  dy \leqslant 2L \int_{0}^{L}dx  \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}}\Big|\frac{\partial u(\xi, y)}{\partial \xi}\Big|^{2}d\xi dy + 2L \int_{0}^{L}dy \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}}  \Big| \frac{\partial u(\tilde{x}, \eta)}{\partial \eta}\Big|^{2} dx d\eta =$$
$$ 2L^2 \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}} \Big|\frac{\partial u(x, y)}{\partial x}\Big|^{2}dx dy + 2L^2 \int\!\!\!\int_{\mathbb{Q}}  \Big| \frac{\partial u(x, y)}{\partial y}\Big|^{2} dx  dy $$

что и требовалось доказать.


Вопрос 1:Правомочен ли переход от $\tilde{x} $ к $x $ в последней строчке доказательства?
Вопрос 2: Почему неравенство Пуанкаре неверно в случае, если функция $u(x,y)$ обращается в ноль на границе только в одной точке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство Пуанкаре для ненулевой границы
Сообщение21.03.2016, 18:01 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
1. Нет. Может случиться, что в точке $\tilde{x}$ производные малы, а в прочих точках - нет.
2. А вот по этой самой причине (ведь Ваше док-во - если бы оно было корректно - это и есть "общее док-во"). Глобальное препятствие можно усмотреть в том, что, хотя у функций из Соболевских пространств и есть граничное значение ("след"), его значения в точках не определено...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство Пуанкаре для ненулевой границы
Сообщение22.03.2016, 13:19 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Спасибо большое за ответ! :D

DeBill в сообщении #1108289 писал(а):
Может случиться, что в точке $\tilde{x}$ производные малы, а в прочих точках - нет.

Ну хорошо, заменим знак равенства на знак больше и всё...

Меня смущает тот факт, что задача была дана как учебная, из источника, которому я доверяю, и сформулирована она была так: "Доказать, что неравенство Пуанкаре верно в случае нулевого отрезка на ненулевой границе, и неверно в случае точки"... Пытаюсь спасти своё доказательство...

След функций из Соболевских пространств - мне надо подумать об этом :oops:
Ещё раз спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство Пуанкаре для ненулевой границы
Сообщение22.03.2016, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Таня Тайс в сообщении #1108454 писал(а):
"Доказать, что неравенство Пуанкаре верно в случае нулевого отрезка на ненулевой границе, и неверно в случае точки"...

Наверно всё-таки ненулевого отрезка. Кроме того, очень важна геометрия области (ключевое слово "условие конуса").
Ладно, у Вас квадрат. Постарайтесь сначала доказать, что если $\Gamma$ это тот самый участок границы, $\Gamma'$ строго содержится внутри него, а $\omega$ это маленькая окрестность $\Gamma'$, пересечённая с $\Omega$, то неравенство Пуанкаре будет верно если елева интегрировать по $\omega$. Потом расширяйте "завоёванный плацдарм".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group