2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 СТО. 4-вектор.
Сообщение16.01.2015, 19:40 


02/10/12
300
ИСО $K'$ движется относительно ИСО $K$ вдоль оси $x$ со скоростью $v$.
Тело летит тоже вдоль оси $x$ со скоростью $u$.

На рисунке и в тексте обозначаения, начинающиеся с четверки, относятся к
четырехвекторам. А простые векторы без четверки, они синие.
Четырехвкторы $4v$ и $4u$ единичной длины и они перпендикулярны гиперболе, хоть на
рисунке этого и не заметно. Ось $x'$ перпендикулярна оси $t'$ и четырехвектору $4v$
и параллельна касательной к гиперболе в точке, где четырехвектор $4v$ упирается в
гиперболу.
Изображение
Я так понял, что проекция четырехвектора на ось времени точно указывает гамму:
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u_x^2}}=4u_t$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v_x^2}}=4v_t$
$\gamma_{u'}=\frac{1}{\sqrt{1-u'_x^2}}=4u'_t$
Например, длина на рисунке обычного вектора $u'_x$ во столько же раз меньше проекции
четырехвектора $4u'_x$, во сколько раз длина проекции $4u'_t$ больше длины единичного
четырехвектора $4v$ ($4v$ есть проекция самого себя на ось $t'$).
Я на 50 процентов уверен, что нарисовал правильно. Прошу ответить.

ИСО $K'$ движется относительно ИСО $K$ вдоль оси $x$ со скоростью $v$.
Тело летит вдоль оси $y'$ со скоростью $u'$.
Изображение
Если обозначить
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}=4u_t$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=4v_t$
то должно выполняться
$4v_x/v_x=\gamma_v$
$u_x=v_x$
$4u_y/u_y=\gamma_u$
Четырехвектор $4u$ лежит в плоскости $y', t'$ и упирается в гиперболоид на линии
сечения гиперболоида этой плоскостью (нарисовать трудно).
Я на 30 процентов уверен, что нарисовал правильно.

Вижу, что обыкновенные векторы нельзя складывать без разбора, но векторы какой-нибудь
одной ИСО складывать всё-же можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение16.01.2015, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):
На рисунке и в тексте обозначаения, начинающиеся с четверки, относятся к
четырехвекторам. А простые векторы без четверки, они синие.

Приняты другие обозначения:

4-векторы пишутся буквой с индексом, например, $u^\mu.$ Индекс пробегает значения $0,1,2,3,$ где $0$ считается временной координатой. Конкретные значения координат такого вектора разные в разных ИСО, но обозначение одно и то же (при желании, можно менять обозначения индекса, например, $u^\mu$ и $u^{\mu'}$).

3-мерные векторы пишутся со значком вектора (предпочитают математики) или прямым шрифтом (предпочитают физики): $\vec{v},\mathbf{v}.$ В разных ИСО к этим векторам принято добавлять штрихи: в "нештрихованной" системе координат $\vec{v},\mathbf{v},$ в "штрихованной" - $\vec{v}\,',\mathbf{v}',$ дальше при желании можно добавлять "дважды штрихованную", и так далее.

Если 3-мерная часть 4-вектора - совпадает с соответствующим 3-вектором, то их можно обозначить одной буквой. Если не совпадает, например, отличается на какой-то коэффициент, то для избежания путаницы лучше обозначить их разными буквами. Например, 3-вектор скорости часто обозначают $\vec{v},\mathbf{v},$ а 4-вектор той же самой скорости - $u^\mu.$ Или, можно, например, 3-вектор обозначать строчной буквой, а соответствующий 4-вектор - прописной: $\vec{u},\mathbf{u},U^\mu.$

-- 16.01.2015 20:45:04 --

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):
Я так понял, что проекция четырехвектора на ось времени точно указывает гамму...
Я на 50 процентов уверен, что нарисовал правильно.

Да, правильно.

-- 16.01.2015 20:59:06 --

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):
Четырехвектор $4u$ лежит в плоскости $y', t'$ и упирается в гиперболоид на линии
сечения гиперболоида этой плоскостью (нарисовать трудно).
Я на 30 процентов уверен, что нарисовал правильно.

Это тоже правильно, и соотношение $u_x=v_x$ правильное (я сначала засомневался, но потом понял, как его понять из физического смысла).

-- 16.01.2015 21:01:25 --

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):
Вижу, что обыкновенные векторы нельзя складывать без разбора, но векторы какой-нибудь
одной ИСО складывать всё-же можно.

Да, верно.

А вот сложение векторов скорости происходит интересно: как изогнутых стрелочек, нарисованных на гиперболоиде, и начинающихся в точке $(1,0,0,0).$ Оказывается, что геометрия на этом гиперболоиде - есть в точности геометрия Лобачевского, а сечения этого гиперболоида плоскостями, проходящими через начало координат $(0,0,0,0)$ - это "прямые" на этой плоскости Лобачевского.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение16.01.2015, 22:17 


02/10/12
300
Исправляю рисунки. Хорошо получается так: $\mathbf{u}, U^k$. Буквы $\mu$ нет в алфавите
рисовалки. В ЛЛ-2 тоже латинские индексы. Я знаю, Вы писали, что латинские плохо, но
как исключение, раз нет греческих. А проекции 3-мерных векторов как обозначить?
Строчными нежирными $u_x$, так? Вот если так:
4-вектор $U^k, U^{k'}$, его проекции $U^0, U^1, U^2, U^{0'}, U^{1'}, U^{2'},$,
3-вектор $\mathbf{u}, \mathbf{u'}$, его проекции $u_x, u_y, u'_x, u'_y$ ?
Munin post963307.html#p963307 писал(а):
Если не совпадает, например, отличается на какой-то коэффициент, то для избежания
путаницы лучше обозначить их разными буквами. Например, 3-вектор скорости часто
обозначают $\vec{v},\mathbf{v},$ а 4-вектор той же самой скорости - $u^\mu.$

Не нравится мне это, если всего одна скорость, то да, а если две и более, то
одинаковыми буквами, строчными и прописными, по-моему, лучше. Да и букв не напасёшься.

Вижу продолжение Вашего ответа, спасибо. Но и с обозначениями тоже надо разобраться.
Munin post963307.html#p963307 писал(а):
соотношение $u_x=v_x$ правильное

Я его сверил с формулой преобразования скоростей
$u_x=\frac{u'_x+v}{1+\frac{vu'_x}{c^2}}$
у меня $u'_x=0$, стало быть $u_x=v$

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение16.01.2015, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
oleg_2 в сообщении #963356 писал(а):
Вот если так:
4-вектор $U^k, U^{k'}$, его проекции $U^0, U^1, U^2, U^{0'}, U^{1'}, U^{2'},$,
3-вектор $\mathbf{u}, \mathbf{u'}$, его проекции $u_x, u_y, u'_x, u'_y$ ?

Вполне годится.

oleg_2 в сообщении #963356 писал(а):
Не нравится мне это, если всего одна скорость, то да, а если две и более, то
одинаковыми буквами, строчными и прописными, по-моему, лучше. Да и букв не напасёшься.

Да, в общем, вы правы.

oleg_2 в сообщении #963356 писал(а):
Я его сверил с формулой преобразования скоростей
$u_x=\frac{u'_x+v}{1+\frac{vu'_x}{c^2}}$
у меня $u'_x=0$, стало быть $u_x=v$

Берите полную формулу преобразования скоростей - а то это одномерная. Её можно либо нагуглить в Википедии, либо в некоторых учебниках, кажется, у Угарова. Но гораздо увлекательнее вывести её самостоятельно :-) Путь вы знаете: подняться в 4-векторы, потом преобразование Лоренца, потом спуститься обратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение17.01.2015, 00:11 


02/10/12
300
Привожу рисунки и формулы с улучшенными обозначениями. Избавился от этих противных
четверок.
Изображение
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u_x^2}}=U^0$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v_x^2}}=V^0$
$\gamma_{u'}=\frac{1}{\sqrt{1-u'_x^2}}=U^{0'}$

Изображение
Если обозначить
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}=U^0$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=V^0$
то должно выполняться
$V^1/v_x=\gamma_v$
$u_x=v_x$
$U^2/u_y=\gamma_u$
И еще догадался, что обозначение $U^{k'}$ вряд ли когда понадобится, ведь четырехвектор,
в отличие от своих проекций, абсолютен.
Munin, большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение23.02.2016, 22:45 


02/10/12
300
В сообщении post1100806.html#p1100806
Munin дал решение задачи о эффекте Доплера через волновой 4-вектор.
Взяв это решение за образец, я попытался решить следующую задачу.

Задача.
ИСО $K$ неподвижна. Тело движется относительно ИСО $K'$ в плоскости $x'y'$ со
скоростью $\mathbf u'=(u_x', u_y')$. Найти формулы преобразования скорости.

$\begin{cases} t=\gamma(t'+vx') \\ x=\gamma(vt'+x') \\ y=y' \\ \end{cases}$

Мировая линия тела в $K'$:
$(t', t'u_x', t'u_y')$ где $t'$ - параметр.
Преобразуем мировую линию в $K$. Для параметрически заданной мировой линии
можно написать:
$x'=f_1(t')=t'u_x'$
$y'=f_2(t')=t'u_y'$
$t=f_3(t')=\gamma(t'+vx')=\gamma(t'+vu_x't')=\gamma t'(1+vu_x')$
$x=f_4(t')=\gamma(vt'+x')=\gamma(vt'+u_x't')=\gamma t'(v+u_x')$
$y=f_5(t')=y'=t'u_y'$
Мировая линия, заданная параметрически:
$(\gamma t'(1+vu_x'), \gamma t'(v+u_x'), t'u_y')$
Я так понимаю, что три выражения в скобках - это параметрически заданная
мировая линия тела в координах $(t, x, y)$, хотя сами эти координаты выражены
через штрихованный параметр $t'$ и штрихованные компоненты скорости $u_x', u_y'$.
Тело вылетело в нулевой момент из нулевой точки, поэтому я просто разделю
его пространственные координаты на время, всё в ИСО $K$, и получу скорость:
$(\gamma t'(1+vu_x'), \gamma t'(v+u_x'), t'u_y')$

$(1, \frac{\gamma t'(v+u_x')}{\gamma t'(1+vu_x')}, \frac{t'u_y'}{\gamma t'(1+vu_x')})$

$(1, \frac{(v+u_x')}{(1+vu_x')}, \frac{u_y'}{\gamma (1+vu_x')})$

Получил пространственные координаты тела за единичное время. Окончательно:

$u_x=\frac{v+u_x'}{1+vu_x'}$

$u_y=\frac{u_y'\sqrt{1-v^2}}{1+vu_x'}$

Ответьте кто-нибудь. А если Вы, Munin, читаете это моё сообщение, и
если Вы ответите, то было бы хорошо. Я и про волновой 4-вектор тоже не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение24.02.2016, 02:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, вроде, всё правильно.

Волновой 4-вектор - чёрт с ним. Достаточно взять две волновые поверхности (два фронта), и преобразовать их, совершенно аналогично. Тогда расстояние между ними и даст все необходимые волновые векторы в новой ИСО.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение29.02.2016, 05:23 


02/10/12
300
Задача (одномерная).
Источник неподвижен в неподвижной ИСО $K$ и находится слева на оси $x$.
Приемник света неподвижен в ИСО $K'$ и удаляется от источника вдоль оси $x$.
$f_0$ и $\lambda_0$ частота и длина волны в неподвижной ИСО $K$
Найти формулу эффекта Доплера.

Рассмотрим два соседних волновых фронта, передний и задний. Найдем их
координаты в обеих ИСО. Для простоты всегда задний фронт привязан к
нулевой точке, а вычисляю положение переднего фронта в моменты $t=0$ и $t'=0$.
На рисунке точка $A$ это когда передний фронт в этой точке, а задний в нуле,
$x_A=\lambda_0$, точка $B$ - то же для ИСО $K'$, $x_B'=\lambda'$.
Изображение
Мировая линия переднего фронта $(t, \lambda_0+t)$, где $t$ параметр.
Выразим компоненты мировой линии переднего фронта в ИСО $K'$ так
$(t'=f_1(t), x'=f_2(t))$

$t'=f_1(t)=\gamma (t-vx)=\gamma (t-v(\lambda_0 + t))=\gamma (t-v\lambda_0 - vt)=\gamma t(1-v) - \gamma v\lambda_0$
$x'=f_2(t)=\gamma (x-vt)=\gamma (\lambda_0 + t -vt)=\gamma t(1-v) +\gamma \lambda_0$
Выпишу результат для удобства:
$t'=\gamma t(1-v) - \gamma v\lambda_0$
$x'=\gamma t(1-v) +\gamma \lambda_0$
Для нахождения $x_B'$ приравняю $t'$ к нулю и
найду значение $t=t_B$
$t'=\gamma t(1-v) - \gamma v\lambda_0 = 0$
$t(1-v)=v\lambda_0$
$t=t_B=\frac{v\lambda_0}{1-v}$
Подставлю это значение $t_B$ в выражение для $x'$ и получу $x_B'$
$x_B'= \gamma \frac{v\lambda_0}{1-v}(1-v) +\gamma \lambda_0=\gamma v\lambda_0+\gamma \lambda_0=\gamma \lambda_0(v+1)=\lambda_0 \frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}$
$\lambda'=\lambda_0 \frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}$
Модуль пространственного волнового вектора $k=f=\frac{1}{\lambda}$.
$k'=f'=\frac{1}{\lambda '}=f_0 \frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}=f_0 \sqrt{\frac{(1-v)}{(1+v)}}$

(Оффтоп)

$\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}=\sqrt{(\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v})^2}=$
$=\sqrt{\frac{1-v^2}{(1+v)(1+v)}}=\sqrt{\frac{(1-v)(1+v)}{(1+v)(1+v)}}=\sqrt{\frac{(1-v)}{(1+v)}}$





У Фейнмана нашел решение. Оно для одномерного, но я его легко
переделал на двухмерное. В офтопе скрин странички.

(Оффтоп)

http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=295
ФЛФ 3-4, гл. 34 "Релятивистские явления в излучении", параграф 6 "Эффект Доплера".
Почему-то Фейнман неправильно формулы (34.15) преобразования Лоренца написал,
знаки неправильные. У меня догадка, что волна летит вправо, а приемник и
штрихованная ИСО - влево, поэтому он знак поменял. Формула у него получилась
сближенческая.
Изображение


Задача.
Источник неподвижен в неподвижной ИСО $K$ и находится слева на оси $x$.
Приемник света неподвижен в ИСО $K'$ и удаляется от источника, угол на
приемник и осью $x$ равен $\alpha$.
Изображение
$k$ -модуль пространственного волнового вектора.
Волна: $\cos(f_0 t - k_x x - k_y y)=\cos(f_0 t - kx\cos\alpha - ky\sin\alpha)$
$\begin{cases} t=\gamma(t'+vx') \\ x=\gamma(x'+vt') \\ y'=y \\ \end{cases}$
Волна в ИСО $K'$:
$\cos(\gamma f_0(t'+vx') - \gamma k(x'+vt')\cos\alpha - ky'\sin\alpha)$
Преобразую отдельно аргумент косинуса.
$\gamma f_0(t'+vx') - \gamma k(x'+vt')\cos\alpha - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0t' + f_0vx' - kx'\cos\alpha - kvt'\cos\alpha) - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0t' - kvt'\cos\alpha + f_0vx' - kx'\cos\alpha) - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0t' - kvt'\cos\alpha) + \gamma(f_0vx' - kx'\cos\alpha) - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0 - kv\cos\alpha)t' - \gamma(k\cos\alpha - f_0v)x' - ky'\sin\alpha$
Волна в ИСО $K'$:
$\cos(\gamma(f_0 - kv\cos\alpha)t' - \gamma(k\cos\alpha - f_0v)x' - ky'\sin\alpha)$
Модуль пространственного волнового вектора $k=f_0$.
Тогда волна:
$\cos(\gamma f_0(1 - v\cos\alpha)t' - \gamma f_0(\cos\alpha - v)x' - f_0y'\sin\alpha)$
Волновой 4-вектор:
$K^i'=(\gamma f_0(1 - v\cos\alpha), \gamma f_0(\cos\alpha - v), f_0\sin\alpha)$
Это совпадает с образцом:
Munin в сообщении #1100806 писал(а):
Мировая линия импульса света: $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha),$ где $t$ - параметр.
Волновой 4-вектор света: $(f_0,f_0\cos\alpha,f_0\sin\alpha).$
....
Преобразуем мировую линию: $(\gamma t(1-v\cos\alpha),\gamma t(\cos\alpha-v),t\sin\alpha).$
....
Преобразуем волновой 4-вектор: $(\gamma f_0(1-v\cos\alpha),\gamma f_0(\cos\alpha-v),f_0\sin\alpha).$

Я вывел, что модуль пространственного волнового вектора равен временной компоненте
волнового 4-вектора, т. е. частоте, т. е.
$\gamma f_0(1-v\cos\alpha) = \sqrt{(\gamma f_0(\cos\alpha-v))^2 + (f_0\sin\alpha)^2}$

(Оффтоп)

Вычисляю модуль пространственного волнового вектора.

$k=\sqrt{k_x^2+k_y^2}=f_0\sqrt{(\gamma(\cos\alpha-v))^2 + (\sin\alpha)^2}$
Вычислю сначала выражение под корнем.
$(\gamma(\cos\alpha-v))^2 + (\sin\alpha)^2=$

$\gamma^2(\cos^2\alpha-2v \cos\alpha+v^2) + (1-\cos^2\alpha)=$

$=\frac{(\cos^2\alpha-2v \cos\alpha+v^2)+(1-v^2)(1-\cos^2\alpha)}{1-v^2}=$

$=\frac{(\cos^2\alpha-2v \cos\alpha+v^2)+1-v^2-\cos^2\alpha+v^2 \cos^2\alpha}{1-v^2}=$

$\frac{-2v \cos\alpha+1+v^2 \cos^2\alpha}{1-v^2}=\frac{(1- v\cos\alpha)^2}{1-v^2}$
Это выражение под корнем. Подставим его.
$k=f_0\frac{(1- v\cos\alpha)}{\sqrt{1-v^2}}$

Пространственно-временная диаграмма ($v=\cos\alpha$).
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение29.02.2016, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
oleg_2
Послушайте, вас надо показывать как выставочный образец всем местным "рассуждателям про СТО". Вы молодец! Поставили себе цель, и идёте к ней, и получаете качественные результаты - ответы на свои вопросы.

-- 29.02.2016 12:21:51 --

oleg_2 в сообщении #1102997 писал(а):
Почему-то Фейнман неправильно формулы (34.15) преобразования Лоренца написал, знаки неправильные.

И то и другое правильные. Зависит от того: какая ИСО штрихованная, а какая нештрихованная; и в какую сторону направлена скорость штрихованной относительно нештрихованной. От этого в формуле легко меняются знаки передо всеми $v,$ ну а перед $v^2,$ разумеется, не меняются.

Такие вещи обычно пишут так: берут примерную формулу, а потом "по физическому смыслу" уточняют, какой должен стоять знак в ключевом месте. Это легче, чем копаться в источнике цитирования, и в уточнениях, для какого именно случая там написана формула. Может быть, прямо с вашими знаками - вообще ни в одной книжке формулы нет! Но вы её легко напишете сами, по образцу, если умеете правильно менять знаки.

Ещё пример: в разных книгах приняты разные соглашения, что считать положительным квадратом 4-вектора, а что - отрицательным. В природе нету знаков "+" и "−", есть только различия между пространством и временем. А в формулах мы можем либо выбрать времениподобную сигнатуру
$$(a^\mu)^2=+(a^t)^2-(a^x)^2-(a^y)^2-(a^z)^2,\qquad({+}{-}{-}{-}), (1,3),$$ либо пространственноподобную сигнатуру
$$(a^\mu)^2=-(a^t)^2+(a^x)^2+(a^y)^2+(a^z)^2,\qquad({-}{+}{+}{+}), (3,1).$$ От этого могут меняться некоторые другие формулы, например, волновое уравнение для массивных частиц пишется, в зависимости от выбранной сигнатуры, двумя разными способами:
$$(\nabla_\mu)^2\varphi=m^2\varphi,\quad\text{или}\quad(\nabla_\mu)^2\varphi=-m^2\varphi$$ (сравните с ФЛФ-6 гл. 25 - там рассматриваются безмассовые фотоны, и записаны уравнения для $m=0,$ а волновыми функциями являются $A_\mu=(\varphi,\mathbf{A})$; я не пользуюсь символом $\square,$ чтобы было меньше путаницы: Фейнман его использует несколько иначе, чем общепринято). Это не доставляет проблем, если вы чётко держите в голове выбранные вами сигнатуры и соглашения о знаках (или выписываете их перед собой в начале выкладок), не меняете их, а когда списываете формулу из книги, подправляете её под ваши выбранные соглашения.

----------------

Раз уж вы открыли ФЛФ-3, то там буквально в следующем параграфе рассказано и про волновой 4-вектор $(\omega,\mathbf{k}),$ если вам интересно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение29.02.2016, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Предлагаю вам ещё одну задачу. Вы рассмотрели эффект Доплера для света (оптический). А можно рассчитать и эффект Доплера для звука (акустический).

Источник звука неподвижен в ИСО $K,$ и находится в её начале координат.
Приёмник звука неподвижен в ИСО $K',$ и удаляется от источника вдоль оси $x.$
Звук распространяется в среде, которая неподвижна в ИСО $K^*.$ Относительно этой среды движутся и источник, и приёмник (вдоль оси $x^*$), то есть c точки зрения и источника, и приёмника, дополнительно дует ветер.
    Вам понадобятся скорости всех трёх ИСО относительно друг друга; не забудьте, что они связаны между собой релятивистской формулой сложения скоростей. Выберите какой-то конкретный знак скоростей, а случай другого направления движения будет связан с подстановкой отрицательного значения скорости.
В этой среде $K^*$ звук имеет постоянную во всех направлениях скорость $v$ (или $c_s,$ если вам не хватает букв). Известно, что $v<c=1.$ В ИСО $K^*$ действует соотношение $f^*=c_s k^*.$
С точки зрения источника, то есть в ИСО $K,$ источник испускает звук с частотой $f_0.$ Он не знает, какая длина волны у этого звука: какая получится.
Найти формулу эффекта Доплера, то есть, какой частоты звук будет слышать приёмник, в ИСО $K'$?

Это была первая часть задачи. Дальше проверим результат.
Полученную формулу надо перевести в систему единиц $c\ne 1,$ дописав коэффициенты $c$ везде, где это нужно по размерности. Не перепутайте $c_s\ne c.$ После этого, надо взять от этой формулы предел $c\to\+\infty.$ Это имеет тот смысл, что все скорости движения (и скорость звука, и скорости источника и приёмника относительно среды) мы считаем малыми по сравнению со скоростью света, и при этом одного порядка между собой. Тогда мы пренебрегаем малыми поправками от всех $v/c,$ причём одновременно. Мы "переселяемся из царства света в царство звука", "из царства быстрых движений в царство медленных движений".

После взятия этого предела, оставшаяся формула эффекта Доплера должна совпасть с формулой из акустики.

Усложнённые варианты:
- допустим, $K'$ движется относительно $K$ вдоль оси $x,$ а вот направление от источника на приёмник, начерченное в $K,$ наклонено на угол $\alpha$ (как на вашем чертеже ко второй задаче). Скорость среды ($K^*$ относительно $K$) тоже считаем направленной вдоль $x.$
- допустим, у нас все три направления расположены произвольно в пространстве: и скорость $K'$ относительно $K,$ и направление на приёмник, и скорость $K^*$ относительно $K.$ Здесь или придётся писать векторные выкладки для компактности, или подумать над удачным выбором осей координат.

Для усложнённых формул - вы вряд ли найдёте образец, с чем сравнить ответ. Просто можете проделать вычисления для собственного удовольствия, и ощущения, что вы можете это сделать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. 4-вектор.
Сообщение03.03.2016, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Написал серию задач на эффект Доплера:
post1103846.html#p1103846

Предлагаю вам тоже решить эти задачи.

Для вас другие условия:
- 4-векторы не не использовать, а использовать обязательно;
- решать задачи не в преобразованиях Галилея, а в преобразованиях Лоренца;
- решать задачи для $\kappa=c$; дополнительно при желании - для $\kappa<c.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group