Фрактальные (в смысле арифметических прогрессий) множества

[fractalon]

Для множества $A \subset {{\mathbb N}}$ обозначим $A_m^a = \lbrace{\frac{x-a}{m}+1 | x \in A, x \equiv a \pmod m}\rbrace$. Назовём хвостом множества множество его элементов, больших некоторого числа $N$.
Назовём фрактальным такое множество $A$, что для любых $a$ и $m$ некоторые хвосты множеств $A$ и $A_m^a$ совпадают.
Существуют ли бесконечные фрактальные множества с бесконечным дополнением до ${{\mathbb N}}$?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: сложные специфические задачи у нас лежат здесь.

[DeBill]

Да вроде бы нет?
Рассмотрим $A^2_2$ и $A^4_2$, второе получается из первого сдвигом на 1. Если они "хвостато" совпадают (а также - и с $A$), то все они "х"- совпадают со всем$\mathbb{N}$...

[Geen]

DeBill в сообщении #1103730 писал(а):

второе получается из первого сдвигом на 1.

Почему? Вроде бы они просто совпадают?...

[fractalon]

Ну, да, я немного криво определил $A_m^a$. То есть определение верное, но, конечно, следует рассматривать их только для $0 \le a < m$.

[DeBill]

Что-то не получается...
Конечно, хочется устроить классическую конструкцию для существования фракталов, основанную на теореме о сжимающих отображениях и метрике Хаусдорфа. Однако, пространство подмножеств $\mathbb{N}$ (отождествим его с последовательностями, состоящими из 0 и 1, и наделим $l_1$ метрикой с быстро убывающими весами ) неполно : надо его пополнять пустым множеством. Вот оно-то, собака, и окажется неподвижной точкой....?

[DeBill]

А, впрочем, можно искусственно избечь этой неприятности. Типа:
Занумеруем все пары допустимых $(m,a)$, и пусть $F_m^a$ - отображение, которое каждому множеству $E \subseteq\mathbb{N}$ ставит в соответствие множество $F_m^a(E)$, состоящее из точки $n_m^a$ (достаточно большой, одной и той же для всех $E$) и множества, полученного из $E$ гомотетией с к-том $m$ и центром $a$ (ну, пусть еще, для надежности, обрезанного по этому $n_m^a$ ). Пусть $F$ переводит $E$ в объединение , всех $F_m^a(E)$. Тогда, если весовые к-ты достаточно быстро убывают, $F$ будет сжимающим, и его неподвижная точка - искомый фрактал $A$. Непустота его следует из наличия в нем точек $n_m^a$ , а "негустота" (наличие дыр сколь угодно далеко) может быть обеспечена за счет достаточно быстрого роста чисел $n_m^a$ (из-за обрезания). Боле того, он может быть найден как предел итераций отображения $F$. Это фактически, дает и конструктивный способ его построения.

[Geen]

Рассмотрим $A_1^0$ - это просто прибавление единицы ко всем элементам $A$. Если мн-ва бесконечны и их хвосты совпадают, это значит, что начиная с некоторого $N$ они содержат все числа. Так?

[DeBill]

Geen
Видимо, предполагается $m > 1$...

[ivvan]

DeBill в сообщении #1103788 писал(а):

Занумеруем все пары допустимых $(m,a)$, и пусть $F_m^a$ - отображение, которое каждому множеству $E \subseteq\mathbb{N}$ ставит в соответствие множество $F_m^a(E)$, состоящее из точки $n_m^a$ (достаточно большой, одной и той же для всех $E$) и множества, полученного из $E$ гомотетией с к-том $m$ и центром $a$ (ну, пусть еще, для надежности, обрезанного по этому $n_m^a$ ). Пусть $F$ переводит $E$ в объединение , всех $F_m^a(E)$. Тогда, если весовые к-ты достаточно быстро убывают, $F$ будет сжимающим, и его неподвижная точка - искомый фрактал $A$.

Плохо понимаю конструкцию. Будут все точки больше некоторого образами всех гомотетий из конечного подмножества рассматриваемых?

[DeBill]

ivvan
Теорема о сжимающих говорит, что к неподвижной точке сжимающего от-я сходятся итерации любой точки.
Поэтому - да, в качестве исходного множества для конструирования фрактала можно взять, например, и точки $n_m^a$
(только их - и точек, и гомотетий - таки бесконечно много). А еще лучше - стартовать прямо со всего $\mathbb{N}$ чтобы получалась вложенная последовательность множеств...
И - да, конструкция что-то тяжеловата...

[ivvan]

DeBill
Я имел в виду, что каждая точка является образом всех гомотетий (из конечного подмножества рассматриваемых),а в конструкции итерируется объединений гомотетий, поэтому вижу только что каждая точка является образом какого-то из гомотетий. Объясните, что я упускаю.

[DeBill]

ivvan
Видимо, я слишком неаккуратно выражался: слово "точка" в разных местах означало разные вещи.
Здесь

DeBill в сообщении #1103901 писал(а):

неподвижной точке сжимающего от-я

под точкой понимается подмножество из $\mathbb{N}$ (на которых и определялось действие отображения $F$).

[ivvan]

DeBill в сообщении #1103917 писал(а):

Здесь

DeBill в сообщении #1103901 писал(а):

неподвижной точке сжимающего от-я

под точкой понимается подмножество из $\mathbb{N}$ (на которых и определялось действие отображения $F$).

Это место я так и понимал. Где ещё мог напутать?
неподвижной точке сжимающего от-я

[DeBill]

ivvan

ivvan в сообщении #1103908 писал(а):

вижу только что каждая точка является образом какого-то из гомотетий. Объясните, что я упускаю.

Ну, вообще то так и получится. Только лучше сказать так: каждая точка построенного множества будет образом одной из выбранных точек $n_m^a$ при применении некоторых из указанных гомотетий (т.е., возможно, что не одной, а нескольких).

Вообще, видимо, решение будет более прозрачным, если стартовать с пустого множества, и строить фрактал постепенно, применяя не все гомотетии сразу, а добиваясь "самоподобия" понемногу. Типа: вот рассмотрим первое отображение $F_2^0$. Образом пустого множества будет множество, состоящее из одной точки $n_2^0$. Применим к нему $F_2^0$, получим множество из двух точек. Применим еще раз - получим трехточечное, и т.д. В пределе, получим бесконечное множество, для него условие задачи выполняется только при $m=2, n=0$. Применим к нему $F_2^1$. (точку $n_2^1$ выберем достаточно далеко - например, правее третьей точки построенного множества - чтобы у нас были дыры ) Получим что-то. Снова запустим первую процедуру, и изготовим из этого "что-то" $F_2^0$ - инвариантное множество. К нему еще один раз применим $F_2^1$, и снова вернемся к первому шагу, и снова, и снова,... В результате будет построено множество, для которого условие задачи выполняется уже для двух гомотетий. Применим к нему $F_3^0$, и повторим ВСЕ предыдущие действия. К полученному, еще раз применим $F_3^0$, и опять ВСЁ повторим, ит.д. В результате получим множество, для которого условия задачи выполняются уже для трех гомотетий. И т.д....
Поскольку в процессе всех построений, начальные отрезки построенных множеств стабилизируются, то у полученной последовательности (возрастающей!) есть предел. За счет хорошего выбора точек $n_m^a$ - в построенном множестве будет много дыр , и его "плотность" также будет малой - и это даст бесконечность его дополнения...
Такое описание - лучше?