Доказательство равномощности графически

[Rusit8800]

1)По какому образцу доказывается равномощность "графических объектов", например двух произвольных отрезков, если считать их как множество точек? Здесь явно доказательство отлично от доказательства равномощности множества четных чисел и множества натуральных чисел, ну, или хотя-бы частично.
2)Как доказывать "некие" свойства множеств при их объединении, пересечении...например,что любое подмножество счётного множества не более чем счётно.
Мне важно понять алгоритм доказательств равномощности, т.к. он везде одинаков(надеюсь ), ведь тогда дальше будет проще.

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1101820 писал(а):

Здесь явно доказательство отлично от доказательства равномощности множества четных чисел и множества натуральных чисел

Ну почему же? Равномощность отрезков $[0,1]$ и $[0,2]$ как раз и устанавливается биекцией $x \mapsto 2x$. А вот как установить равномощность отрезка и полуинтервала?

[Rusit8800]

DeBill в сообщении #1101826 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1101820 писал(а):

Здесь явно доказательство отлично от доказательства равномощности множества четных чисел и множества натуральных чисел

Ну почему же? Равномощность отрезков $[0,1]$ и $[0,2]$ как раз и устанавливается биекцией $x \mapsto 2x$. А вот как установить равномощность отрезка и полуинтервала?

Нет нужны произвольные отрезки.А равномощность $[1,3]$ и $[2,6]$ также $x \mapsto 2x$? То есть по "размеру"

[mihailm]

Rusit8800 в сообщении #1101820 писал(а):

...По какому образцу доказывается равномощность...

Образец тут один - определение равномощности.

(Оффтоп)

еще бы спросили по какому правилу все задачи матана решаются

[arseniiv]

Rusit8800
Больше читайте, и подходите к большему количеству задач и чаще. Нет царского пути в геометрию — эти слова нисколько не устарели. Голова не умеет создавать полезные мысли на пустом месте, ей нужна куча фактов и взаимосвязей, мелких и крупных деталей.

Это универсальный совет, и в данном случае применим как никогда, потому что вы до сих пор сваливаете разные понятия в одну кучу. Надо аккуратно их отделить, прочитав или перечитав хорошую книгу. Что вы читаете сейчас, например? И какие у вас планы?

[Brukvalub]

Rusit8800 в сообщении #1101820 писал(а):

Мне важно понять алгоритм доказательств равномощности, т.к. он везде одинаков

Для доказательства равномощности либо строится биекция, либо строятся две биекции на подмножества и используется т. Кантора-Бернштейна. Иногда для построения биекции сначала выделяется счетное подмножество, в которое "прячутся" лишние точки. Специальных учебников про доказательство равномощности я не видел, обычно такие задачи разбирают на семинарах по началам теории множеств и их дают для упражнений в разных задачниках. Интересующийся обычно доходит до всего сам, решая эти упражнения.

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1101837 писал(а):

Rusit8800
Больше читайте, и подходите к большему количеству задач и чаще. Нет царского пути в геометрию — эти слова нисколько не устарели. Голова не умеет создавать полезные мысли на пустом месте, ей нужна куча фактов и взаимосвязей, мелких и крупных деталей.

Это универсальный совет, и в данном случае применим как никогда, потому что вы до сих пор сваливаете разные понятия в одну кучу. Надо аккуратно их отделить, прочитав или перечитав хорошую книгу. Что вы читаете сейчас, например? И какие у вас планы?

Вот я и решаю задачи на равномощность, но не всегда понимают как построить биекцию, найти его правило отображения.Наверное нужно по каким-то правилам находить или теоремам, но каким?

[Brukvalub]

Rusit8800 в сообщении #1101844 писал(а):

Наверное нужно по каким-то правилам находить или теоремам, но каким?

Brukvalub в сообщении #1101841 писал(а):

Для доказательства равномощности либо строится биекция, либо строятся две биекции на подмножества и используется т. Кантора-Бернштейна. Иногда для построения биекции сначала выделяется счетное подмножество, в которое "прячутся" лишние точки.

arseniiv в сообщении #1101837 писал(а):

Rusit8800
Больше читайте, и подходите к большему количеству задач и чаще. Нет царского пути в геометрию — эти слова нисколько не устарели.

[Rusit8800]

Brukvalub в сообщении #1101846 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1101844 писал(а):

Наверное нужно по каким-то правилам находить или теоремам, но каким?

Brukvalub в сообщении #1101841 писал(а):

Для доказательства равномощности либо строится биекция, либо строятся две биекции на подмножества и используется т. Кантора-Бернштейна. Иногда для построения биекции сначала выделяется счетное подмножество, в которое "прячутся" лишние точки.

arseniiv в сообщении #1101837 писал(а):

Rusit8800
Больше читайте, и подходите к большему количеству задач и чаще. Нет царского пути в геометрию — эти слова нисколько не устарели.

Не очень понял: "Иногда для построения биекции сначала выделяется счетное подмножество, в которое "прячутся" лишние точки."

-- 24.02.2016, 22:52 --

Неужели только по Теореме Кантора — Бернштейна?Придется инъекцию и сюръекцию доказывать

[Brukvalub]

Не вижу смысла в сотый раз переливать из пустого в порожнее продолжать беседу.

[Anton_Peplov]

DeBill в сообщении #1101826 писал(а):

А вот как установить равномощность отрезка и полуинтервала?

Вряд ли Вы это серьезно спрашиваете, но на всякий случай отвечу.
1. Устанавливаем равномощность любого отрезка любому другому отрезку.
2. Доказываем, что, если множество $A$ бесконечно, а $B$ конечно, то $A \setminus B$ равномощно $A$.
3. Открываем шампанское.

[arseniiv]

Rusit8800 в сообщении #1101844 писал(а):

Вот я и решаю задачи на равномощность, но не всегда понимают как построить биекцию, найти его правило отображения.Наверное нужно по каким-то правилам находить или теоремам, но каким?

В таких случаях советуют меньше думать [о том, как могло бы быть лучше делать] и больше делать.

Вот, кстати, задачка для проверки общего уровня, если хотите. Найдите мощность множества $M_\alpha$ точек окружности, которые можно получить, вращая какую-то одну её точку на углы $n\alpha$ для всех целых $n$. Выписанное здесь решение может кому-нибудь показать конкретные дыры в подходе к математике, чтобы советы могли быть более направленными. (Вообще подобных задач можно насочинять кучу, это первое пришедшее на ум.)

[DeBill]

Anton_Peplov
Да не, я хотел, чтоб товарищ явно предъявил биекцию - и чтоб заодно порадовался уже наработанному материалу про равномощность$\mathbb{N}$ и $\mathbb{N}\cup \{0\}$....

[gris]

Вопрос ТС был о графическом доказательстве для отрезков, расположенных на плоскости. То есть надо, наверное, найти алгоритм построения биекции с помощью циркуля и линейки. Если отрезки расположены на различных параллельных прямых, то построение несложно. Проводим прямые четыре прямые через концы разных отрезков, выбираем пару, которая пересекается в точке, не принадлежащей отрезкам, потом устраиваем биекцию с помощью пучка прямых, проходящих через эту точку. Всё строго доказывается с помощью аксиом. Ну и можно развернуть на общий случай.

DeBill, я давным давно даже картинку рисовал здесь одной девочке для демонстрации Вашей биекции с помощью сшивания двух лоскутов материи

[Anton_Peplov]

DeBill в сообщении #1101871 писал(а):

Да не, я хотел, чтоб товарищ явно предъявил биекцию

Да Вы, батенька, садист.