2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение12.02.2016, 03:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ellipse
ellipse в сообщении #1098797 писал(а):
Так надо еще доказать, что такое число существует.


Достаточно заметить, что $\cos$ на интервале $[0..2]$ меняет знак ровно один раз и назвать полученный нуль символом $\frac{\pi}{2}$, а также вывести правило сложения $\cos(a+b)$ чисто из формальных манипуляций с рядами (попутно объясняя, что ряд всюду абсолютно сходится, а потому все манипуляции законны). Из правила сложения и существования минимального положительного нуля у $\cos$ сразу следует периодичность.

ellipse в сообщении #1098797 писал(а):
вообще, определять через ряды - некрасивый и неестественный способ.

Мне кажется нужно разделять задачи, если важно объяснить человеку, что такое синус и косинус - то вообще не нужно такой фигнёй страдать, а сразу апеллировать к его геометрической интуиции. Если важно навести строгость для людей, которые уже всё понимают - нужно выбирать кратчайший и технически простейший путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение12.02.2016, 09:50 


25/11/08
449
kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):
Достаточно заметить, что $\cos$ на интервале $[0..2]$ меняет знак ровно один раз и назвать полученный нуль символом $\frac{\pi}{2}$
Не соображу, как это заметить? И почему один раз? Если почленно брать производную ряда, поучим ряд косинуса, о котором мы тоже пока ничего не знаем.

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):
а также вывести правило сложения $\cos(a+b)$ чисто из формальных манипуляций с рядами
Мне кажется, это свойство легче получается для формального ряда $e^z$, причем в итоге сразу для $\cos$ и $\sin$.

Может как-то сразу вывести свойство $e^{i2\pi}=1$.

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):
Мне кажется нужно разделять задачи, если важно объяснить человеку, что такое синус и косинус - то вообще не нужно такой фигнёй страдать, а сразу апеллировать к его геометрической интуиции. Если важно навести строгость для людей, которые уже всё понимают - нужно выбирать кратчайший и технически простейший путь.
Мне не нужно никому объяснять. Я просто сам хочу понять природу элементарных функций, и не с точки зрения методики преподавания, а с высоты полета современной математики. Тема случайно вошла в русло методической и была перенесена сюда модератором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение12.02.2016, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ellipse в сообщении #1098808 писал(а):
Не соображу, как это заметить? И почему один раз? Если почленно брать производную ряда, поучим ряд косинуса, о котором мы тоже пока ничего не знаем.

Ну стандартная техника через всякие там оценки, посмотрите Watson Whittaker "A course of Modern analysis" Appendix A51, например.

ellipse в сообщении #1098808 писал(а):
Мне не нужно никому объяснять. Я просто сам хочу понять природу элементарных функций, и не с точки зрения методики преподавания, а с высоты полета современной математики. Тема случайно вошла в русло методической и была перенесена сюда модератором.

Мне кажется "природа" концепций не в формальных дефинициях, а как раз в интуитивных образах и ассоциациях. А с высоты полёта современной математики синус пятью разными способами определить можно, но через ряды - быстрее и проще всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение13.02.2016, 20:45 


23/09/15
3
Математики давно заметили что отношение длины катета к гипотенузе,катета к катету и тд не зависит от самих размеров прямоугольного треугольника но зависит от его углов(двух).Как узнать наример длину катета зная противолежащий ему угол и длину гипотенузы?От сюда все и начинается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение13.02.2016, 23:29 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Robert341 в сообщении #1099159 писал(а):
Как узнать наример длину катета
Учить в школе геометрию!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение14.02.2016, 01:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Robert341
Вот прямоугольные треугольники, кстати, это как раз довольно неудобно. Получаются тригонометрические функции, определённые всего-то на $[0; \pi/2]$. Не стоило вспоминать о катетах, тут обсуждение на уровне немного повыше. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение16.02.2016, 21:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
arseniiv в сообщении #1099207 писал(а):
Получаются тригонометрические функции, определённые всего-то на $[0; \pi/2]$.

И слава богу -- этого достаточно. Далее всё, и во все времена, и во веки веков -- доопределяется. И аминь.

А то, знаете ли, так можно довольно далеко зайти. Вот, скажем, логарифм: с какой стати он определён лишь на положительных числах-то?... почему не сразу на матрицах?...

arseniiv в сообщении #1099207 писал(а):
тут обсуждение на уровне немного повыше. :roll:

Совершенно верно, тут -- исключительно в облаках. К примеру:

kp9r4d в сообщении #1098799 писал(а):
Если важно навести строгость для людей, которые уже всё понимают -

-- то этим людям никакой строгости уже не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение16.02.2016, 22:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ewert в сообщении #1099982 писал(а):
Далее всё, и во все времена, и во веки веков -- доопределяется.
Вот решения функциональных уравнений не доопределяются. И наивное определение с окружностью из школьного учебника тоже доопределения не требует. И вообще для доопределения нужны обоснования, поскольку операция эта неоднозначная.

ewert в сообщении #1099982 писал(а):
А то, знаете ли, так можно довольно далеко зайти. Вот, скажем, логарифм: с какой стати он определён лишь на положительных числах-то?... почему не сразу на матрицах?...
Потому что обычно положительные числа считаются подмножеством действительных или даже комплексных, а перед матрицами уже чаще останавливаются. Например, если матрицы в данном контексте не нужны. Разумеется, обобщать до упора — это так себе задумка, но и совсем этого не делать — аналогичная. И это оффтоп, наверное…

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение17.02.2016, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1099982 писал(а):
-- то этим людям никакой строгости уже не нужно.

Бывает так, что и нужно. Например, как в этой теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение17.02.2016, 22:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1100181 писал(а):
Бывает так, что и нужно.

Да только обычно эта надобность уродством выходит. Сказано ж в Писании:

kp9r4d в сообщении #1098814 писал(а):
Мне кажется "природа" концепций не в формальных дефинициях, а как раз в интуитивных образах и ассоциациях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение19.02.2016, 08:59 


25/08/11

1074
Нестрогие-нестрогие, они будут всегда чем-то кого-то не устраивать. А строгие- в них всегда будут свои сложности и неудобные места. На круге основное триг. тождество очевидно, а попробуйте его через ряды доказать, вряд ли это так просто.
Мне кажется, достаточно удачная попытка строго введения тригфункций- в учебнике матанализа Шилова. Интересно мнение об этом других...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как строго определять тригонометричсекие функции?
Сообщение19.02.2016, 12:40 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
sergei1961 в сообщении #1100562 писал(а):
На круге основное триг. тождество очевидно, а попробуйте его через ряды доказать, вряд ли это так просто.
Это просто.
"Э.Ландау. Введении в дифференциальное и интегральное исчисление", стр. 233:
Цитата:
$1 = \cos 0 = \cos (x-x) = \cos x \cos(-x) - \sin x \sin(-x) = \cos ^2 x + \sin^2 x$
Все используемые в этой теореме соотношения доказываются на предыдущих двух страницах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group