2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симплициальная реализация окружности
Сообщение14.02.2006, 19:02 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Правильно ли я понимаю что когда говорят Симплициальная реализация окружности
Иммется ввиду симплекс построенный с учетом того что окружность то же что треугольник.

Ведь иначе не понятно как можно строить выпуклые оболочки, ведь точки надо соединять отрезками а на окружности не одного отрезка не нарисуешь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2006, 11:34 


19/01/06
179
решил ответить, так как, ответов нет.

Прокоментирую ваше второе предложение: как известно выпуклая оболочка множества совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций точек из исходного множества. И n-шар является выпуклой оболочкой ограничивающей его (n-1)-сферы - но это не требует рисовать отрезки на сфере.

Касательно же первого предложения, может вы уточните вопрос, или приведете источник относительно которого задается вопрос.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2006, 13:56 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Не здесь я иммел ввиду k-мерный сиплекс - это выпуклая оболочка k+1 точки общего положения
Т.е. k=1 это отрезок k=2 треугольник k=3 тетрайдер и т.д.
Ну а симплициальный комплекс нечто склеенное из этих k-мерных сиплексов ну конечно так чтоб пересечения покрывались сиплексами меньших размерностей.

А источник это некие распечатки семинарских занятий. Тема их гомологии и проситься на первых страницах посчитать симплициальные гомологии окружности то есть в R2. Ну поскольку гомологии сиплициальные то надо построить сиплициальный комплекс являющийся окружностью. Не ну понятно что раз гомологии это гомотопический инвариант то гомеоморфность окружности и треугольника позволяет считать гомолгии треугольника а треугольник и есть комплекс ну вот такой {0} {1} {2} {01} {02} {12}.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2006, 15:16 


14/02/06
4
Дорогой It3km, вы несколько путаете понятие топологического пространства(и соответственно комплекса) и вложения многообразия в евклидово пространство. Так вот, если вы работаете с окружностью в обычном школьном понимании, то перед вами имеется многообразие, которое само уже является подмногообразием чего-то, в данном случае плоскости. Так вот вам надо разбить её на куски гомеоморфные одномерным симплексам. Треугольник с введённой стандартной топологией гомеоморфен окружности, а значит пропуская симплекс через треугольник вы получаете комплекс на окружности.И не проводить никаких отрезков.

 Профиль  
                  
 
 ответ
Сообщение15.02.2006, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Определние. Для любого топологического пространства $X$ сингулярным $n$-мерным симплексом $T$ в $X$называется непрерывное отображение $T\colon\Delta^n\to X$ (С. Маклейн, Гомология).

Здесь $\Delta^n$ --- обычный $n$-мерный симплекс в $\mathbb R^{n+1}$. Иногда слово "сингулярный" опускают.

В Вашем случае симплекс в $S^1$ можно представлять как три точки на окружности: $(0), (1), (2)$ (расположенные, например, против часовой стрелки) и три дуги их соединяющие: $(01), (12), (20)$. С точки зрения гомологии, обозначения и порядок не важны, важен лишь граничный гомоморфизм $d$ на свободной абелевой группе $C(S^1)$ порожденной шестью элементами $(0), (1), (2), (01), (12), (20)$. Он задается следующими соотношениями
$$
d((01)) = (1) - (0),\; d((12)) = (2) - (1),\; d((20)) = (0) - (2),
$$
$$
d((0)) = d((1)) =d((2)) = 0.
$$

Группа гомологий равна $H(S^1)=Ker(d)/Im(d)=<(0)>_{\infty}\oplus<(01)+(12)+(21)>_{\infty}$. Замечателен тот факт, что группа гомологий не зависит от выбора комлекса и его фактической реализации. Например, можно было ограничиться двумя точками $(0), (1)$ и двумя дугами $(01), (10)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ответ
Сообщение15.02.2006, 18:45 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
[quote="lofar"]Определние. Для любого топологического пространства $X$ сингулярным $n$-мерным симплексом $T$ в $X$называется непрерывное отображение $T\colon\Delta^n\to X$ (С. Маклейн, Гомология).

Ну после этого определения вроде бы становиться все яснее но не совсем понятно тогда приципиальной разницы с сингулярными гомологиями...
Спасибо буду разбираться дальше.

 Профиль  
                  
 
 Одномерный симплекс.
Сообщение15.02.2006, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Цитата:
В Вашем случае симплекс в $S^1$ можно представлять как три точки на окружности


Одномерный симплекс - это отрезок. Окружность можно "склеить" из трёх симплексов.

 Профиль  
                  
 
 поправка
Сообщение19.02.2006, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Someone, Вы правы, в указанной Вами фразе допущена ошибка. Слово "симплекс" надо заменить на "комплекс".

 Профиль  
                  
 
 Re: ответ
Сообщение19.02.2006, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Цитата:
... от выбора комлекса и его фактической реализации. Например, можно было ограничиться двумя точками $(0), (1)$ и двумя дугами $(01), (10)$.


Если бы только такому выбору не препятствовало определение симплициального комплекса: пересечение любых двух симплексов должно быть симплексом (если оно, конечно, непусто).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group