2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Планиметрическая задача с окружностью и треугольником
Сообщение14.02.2016, 03:08 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Задача: Окружность радиуса $6$ проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$ и пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственною Центр $O$ окружности лежит на стороне $AC, AO=12, CO=10, \angle{OBC}=\angle{BCO}+\angle{EOA}.$ В каком отношении прямая $BO$ делит отрезок $EF?$ Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$
Что мне удалось выяснить:
$OF=OB=OE=r$, откуда $\angle{OBF}=\anlge{OFB}; \angle{OBE}=\angle{OEB}; \angle{OEF}=\angle{OFE}$ из соответствующих равнобедренных треугольников.
Пусть $\angle{OBC}=\alpha,$ $\angle{OCF}=\beta,$ $\angle{EOA}=\gamma$, тогда $\alpha=\beta+\gamma$
Из треугольника $BOC:\angle{BOC}=\pi-\alpha-\beta$, из треугольника $BOF: \angle{BOF}=\pi-2\alpha$, тогда $\angle{FOC}=\angle{BOC}-\angle{BOF}=\alpha-\beta=\gamma$ и из треугольника $OFC: \angle{OFC}=\pi-\alpha$.
$\angle{EOB}=\pi-\angle{AOE}-\angle{BOF}-\angle{FOC}=\pi-2\gamma-\pi+2\alpha=2\beta$, тогда из треугольника $EOB: \angle{OEB}=\angle{OBE}=\frac{\pi}{2}-\beta$.
Поэтому $\angle{ABC}=\angle{ABO}+\angle{CBO}=\frac{\pi}{2}-\beta+\alpha=\frac{\pi}{2}+\gamma$
Тогда по теореме синусов в треугольнике $ABC: R=\dfrac{22}{2\sin({\frac{\pi}{2}+\gamma})}$, но $\sin({\frac{\pi}{2}+\gamma})=\cos{\gamma}$, тогда $R=\dfrac{11}{\cos{\gamma}}$
Откуда выразить $\gamma$ и как всё это подвести к отношению $\frac{EG}{GF}$?
off: рисунок

(Оффтоп)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрическая задача с окружностью и треугольником
Сообщение14.02.2016, 14:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
iou
Красивая картинка!
Обратите внимание: угол $BFE$ - вписанный, а $BOE$ центральный!
Так что сразу нашли Ваше отношение.
С радиусом: наша окружность описана около $BFE$, подобного $BCA$, так что достаточно найти к-т подобия.
Ну, у меня тут так просто не получается. Но можно - по теореме синусов из тр-ков $ABO$, $CBO$ найти отношения $\frac{\sin A}{\cos C} =\frac{6}{12}$ и $\frac{\sin C}{\cos A}= \frac{6}{10}$ и (оттуда же ) найти к-т подобия $k=\frac{\cos (A-C)}{2\sin A \cdot \sin C}$. Как делать чисто геометрически - не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрическая задача с окружностью и треугольником
Сообщение14.02.2016, 16:19 
Аватара пользователя


04/10/15
291
DeBill в сообщении #1099252 писал(а):
Обратите внимание: угол $BFE$ - вписанный, а $BOE$ центральный!
Так что сразу нашли Ваше отношение.

Вы об отношении $\dfrac{EG}{GF}$? Я не понимаю, как из этого факта выразить это отношение..

(Оффтоп)

Кстати, на бумаге я отметил этот факт, и, соответственно, нашёл $\angle{EFB}=\beta$, но забыл это написать тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрическая задача с окружностью и треугольником
Сообщение14.02.2016, 17:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
iou
Дык Вы же нашли угол $BOE = 2\beta$. Значит, угол $BFE$ равен $\beta$, так что прямые $EF$ и $AC$ параллельны...Потому отношение Ваше - такое же как $AO:OC$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрическая задача с окружностью и треугольником
Сообщение14.02.2016, 18:08 
Аватара пользователя


04/10/15
291
DeBill в сообщении #1099314 писал(а):
iou
Дык Вы же нашли угол $BOE = 2\beta$. Значит, угол $BFE$ равен $\beta$, так что прямые $EF$ и $AC$ параллельны...Потому отношение Ваше - такое же как $AO:OC$

Да-а, уже изначальные данные из головы вылетели..
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group