Макс. длина последовательности некоторых непростых чисел.

[glukmaker]

Пусть $P$ - возрастающая последовательность всех простых чисел.
$P_1=2$
$P_2=3$
$P_3=5$
и т.д.

Вроде как очевидно, что максимальная длина последовательности идущих друг за другом натуральных чисел, делящихся хотя бы на одно из $k$ первых простых чисел (т.е. $P_1$, $P_2$ ... $P_k$) равна $L_k=P_{k+1}-2$

Но, если данное утверждение мне необходимо для решения другой задачи, то можно ли ссылаться на очевидность вышеизложенного или же оно требует доказательства? Т.е. является ли вышеизложенное очевидным или нет?

[venco]

Не очевидно, более того, неверно.

[glukmaker]

venco в сообщении #1097414 писал(а):

Не очевидно, более того, неверно.

А почему неверно? Есть контрпример?

[venco]

Есть. Для $\{2,3,5,7,11\}$ есть последовательность длины 13.

[glukmaker]

venco в сообщении #1097416 писал(а):

Есть. Для $\{2,3,5,7,11\}$ есть последовательность длины 13.

М-да. Вы правы. Нашел первую такую последовательность 114...126
Я первоначально считал, что самые длинные последовательности должны находиться вблизи чисел, кратных праймориалам, но оказалось, что ошибся...
Вы слишком быстро определили что мое предположение неверно. Каким образом?
Если есть какая-то информация по сходной проблеме, то дайте пожалуйста ссылку, если это возможно...

[svv]

Результат простого численного эксперимента на компьютере.
В 1-й колонке количество первых простых чисел.
Во 2-й максимальное простое число из первых.
В 3-й максимальная длина цепочки.
В 4-й первая встретившаяся цепочка такой длины.

$\begin{tabular}{c|c|c|c} \hline 1&2&1&2\\ \hline 2&3&3&2..4\\ \hline 3&5&5&2..6\\ \hline 4&7&9&2..10\\ \hline 5&11&13&114..126\\ \hline 6&13&21&9440..9460\\ \hline 7&17&25&217128..217152\\ \hline 8&19&33&60044..60076\\ \hline\end{tabular}$

[venco]

Сразу было неочевидно. Т.е. просто не вижу, почему вы сделали такой вывод.
А потом в екселе быстро нашёл, что есть нарушение начиная с указанного набора. Если его увеличить, то разница ещё больше.

[grizzly]

Для справки: A058989

[svv]

grizzly, Вы разбили мою надежду (построенную специально для её разбивания в учебно-назидательных целях).
Выдвигаем гипотезу, да чего там мелочиться, утверждение, что каждый элемент последовательности длин цепочек, кроме первых двух, равен некоторому простому числу плюс 2. Смотрите, как правдоподобно!

oeis писал(а):

1, 3, 5, 9, 13, 21, 25, 33, 39, 45,...

А дальше — облом:

oeis писал(а):

1, 3, 5, 9, 13, 21, 25, 33, 39, 45, 57, 65, ...

Видимо, у них произошёл сбой компьютера или переполнение разрядной сетки.