Тригонометрия через комплексные числа.

[stedent076]

Как определять тригонометрические формулы через комплексную плоскость?

[mihailm]

Какие конкретно формулы?

[stedent076]

mihailm
скажем, синус двойного угла

[Brukvalub]

(Оффтоп)

stedent076 в сообщении #1096602 писал(а):

Как определять тригонометрические формулы через комплексную плоскость?

Как раз плюнуть: сажаете друга недалеко от себя, подносите комплексную плоскость к губам и громко произносите формулы. Если друг не туговат на ухо, он все произнесенные через комплексную плоскость формулы уверенно определит.

[stedent076]

Brukvalub
а если серьезно?

[Brukvalub]

Погуглить формулу Муавра.

[stedent076]

Brukvalub
Может это и глупый вопрос, но все же. Как с помощью этой формы записи комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i \sin\varphi)$ вывести формулу для синуса двойного угла?

[alcoholist]

stedent076 в сообщении #1096611 писал(а):

Как с помощью этой формы записи комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i \sin\varphi)$ вывести формулу для синуса двойного угла?

в квадрат возведите при $r=1$

[stedent076]

alcoholist
$z^2 =(\cos^2\varphi + 2i\cos\varphi\sin\varphi- \sin^2\varphi)$ Так, мнимая часть и "будет" синусом двойного угла. Но почему надо возводить именно в квадрат, а не умножать на два, например?

[arseniiv]

А вы умножьте.

[Koncopd]

$\cos 2x+i\sin 2x=e^{2ix}=e^{ix}e^{ix}=(\cos x + i\sin x)^2=\cos^2 x + 2i\sin x \cos x + \sin^2 x$

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #1096618 писал(а):

А вы умножьте.

А вообще темы же были. В последнее время какое-то нашествие разобранных несколько раз вопросов (я бы и дал ссылки на повторяемые темы, но не собирал их нигде).

А теперь честно:

stedent076 в сообщении #1096617 писал(а):

Но почему надо возводить именно в квадрат

А откуда вы ещё возьмёте $\sin2\varphi$? Это ровно $\operatorname{Im} e^{2i\varphi}$, откуда дальше равенства разворачиваются как ковровая дорожка — ни шагу вбок, только вперёд! (Можно назад, но мы ведь там уже были.)

[Upd: не относящаяся к делу вещественная часть заменена мнимой.]

[Dan B-Yallay]

stedent076 в сообщении #1096617 писал(а):

alcoholist
$z^2 =(\cos^2\varphi + 2i\cos\varphi\sin\varphi- \sin^2\varphi)$ Так, мнимая часть и "будет" синусом двойного угла. Но почему надо возводить именно в квадрат, а не умножать на два, например?

Потому что возведение в квадрат даёт ответ на заданный Вами же вопрос, а умножение на два - не даёт. И умножение на три тоже не даёт.

[stedent076]

Dan B-Yallay
Это если мы уже знаем, что $\sin2a=2\cos a\sin\ a$. Теперь, благодаря ответу arseniiv, я понял, вследствие чего происходит возведение в квадрат.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Странно. Koncopd написал это и раньше, и более явно — а виноват почему-то я.