2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение22.01.2016, 00:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Клетчатая таблица $3\times 3$ называется магическим квадратом, если все числа в ней различны и суммы чисел во всех строках и столбцах одинаковы.

а) Существует ли магический квадрат, заполненный числами, обратными нечётным натуральным?
б) А обратными натуральным числам, дающим остаток 1009 при делении на 2016?
в) А обратными простым?
г) А обратными квадратам натуральных чисел?
д) А этот пункт - эвристический. Придумайте красивое подмножество натуральных чисел, из обратных которым можно составить магический квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение22.01.2016, 16:10 
Заслуженный участник


04/03/09
906
На пункт "в" ответ - нет. Для простых не может быть такого, что сумма двух элементов квадрата равна сумме двух других элементов квадрата, а такие равенства требуются для существования квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение22.01.2016, 18:56 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
12d3
Довольно любопытен пункт г), на мой взгляд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение25.01.2016, 10:58 


26/08/11
2057
Ktina в сообщении #1093264 писал(а):
12d3
Довольно любопытен пункт г), на мой взгляд.
Конечно существует.

(Оффтоп)

Например:
Код:
а11=1/276676469675317019754018975727782589512406164618731870011270378269248386078336836113720168101225
а12=1/939901387623173719925799400489971019578321289732734630005958712951056669943968769404090002500
а13=1/2792665699433962684618111982315510066661677316349896273838446528957917282030326811506056010000
а21=1/3685455279142260398705016908363503957929800860561971750967456915008747774223939927363560010000
а22=1/5646458564802388158245285218934338561477676828953711632883068944270375226088506859463676900025
а23=1/1023334599995813255571737174916183403100382779475397560128068180443188895376626751457184002500
а31=1/869047328437003179353534376622921836980098222136900016766159030359158161939543947059796002500
а32=1/5417324023391889661398211243730761005073422036943311328491628651862854886742806656584264010000
а33=1/11067058787012680790160759029111303580496246584749274800450815130769935443133473444548806724049

 Профиль  
                  
 
 Re: Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение27.01.2016, 01:43 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
А как Вы его нашли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение27.01.2016, 10:32 


26/08/11
2057
Конечно, речь идет о нахождении магического квадрата из квадратов рациональных чисел. Если умножить на НОК знаменателей получится маг. квадрат из целых квадратов, если разделить на НОК числителей - из обратных. Задача наверное легкая, возможно я перемудрил, но искал магических квадратов в таком виде:

$$\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
& &\\
$a^2-t$ & $b^2$ & $c^2+t$\\
& &\\
\hline
& &\\
$c^2$ & $a^2+t$ & $b^2-t$\\
& &\\
\hline
& &\\
$b^2+t$ & $c^2-t$ & $a^2$\\
& &\\
\hline
\end{tabular}$$
где $t$- рациональная константа. Необходимое условие:
$\begin{cases} a^2-t=u^2 \\ a^2+t=v^2 \end{cases}$

$a=\dfrac{m^2+t}{2m}=\dfrac{n^2-t}{2n}$

Уравнение $\dfrac{m^2+t}{m}=\dfrac{n^2-t}{n}$ сводится к:

$n^2=\dfrac{t(2x^2+3x+1)}{x}$, или, к нахожению рациональных точек на кривой $y^2=tx(x+1)(2x+1)$, причем $t$ - удобно выбирается нами.

Тогда $a=\dfrac{y^2-tx^2}{2xy}$

Нам нужны три точки для определения $a,b,c$. И все.

Я выбрал $t=6$ (а надо было $24$). Первая точка $(1;6)$. Красивых не искал - удваивал: $\left(\dfrac{1}{48};\dfrac{35}{96}\right),\;\left(\dfrac{1324801}{235200};\dfrac{1726556399}{32928000}\right)$

Тоесть, существует бесконечно много таких маг. квадратов из рац. квадратов даже в выбранном виде, даже при конкретном $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магический квадрат (по мотивам задачи А. Шаповалова)
Сообщение27.01.2016, 11:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group