2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формула Коши
Сообщение05.01.2016, 22:34 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Есть ли какое-нибудь физическая аналогия, делающая понятной формулу Коши:

$f(z)= \frac{1 }{2 \pi i}\int\limits_{\l}  \frac {f(\xi)}{\xi-z}d\xi $

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение05.01.2016, 23:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
prof.uskov в сообщении #1088354 писал(а):
Есть ли какое-нибудь физическая аналогия, делающая понятной формулу Коши:

Нет. ТФКП как таковая к физике никакого отношения не имеет (то, что она в ней частенько полезна -- это уже вопрос совершенно следующий).

Можно, конечно, попытаться приплесть сюда теорему типа Стокса для двумерного точечного заряда. Но это будет не более чем объяснение непонятного через неизвестное. Ну или наоборот; это уж как Вам больше понравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 00:18 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
ewert в сообщении #1088374 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1088354 писал(а):
Есть ли какое-нибудь физическая аналогия, делающая понятной формулу Коши:

Нет. ТФКП как таковая к физике никакого отношения не имеет (то, что она в ней частенько полезна -- это уже вопрос совершенно следующий).
Можно, конечно, попытаться приплесть сюда теорему типа Стокса для двумерного точечного заряда. Но это будет не более чем объяснение непонятного через неизвестное. Ну или наоборот; это уж как Вам больше понравится.

Не нужно строго, нужна всего лишь иллюстрация, какой-то наглядный образ.
Вот в интегральной теореме Коши
$\int\limits_{\l}  f(z)dz =0$,
из которой и выводится формула Коши, усматривается работа некой силы по замкнутому контуру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 00:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
prof.uskov в сообщении #1088381 писал(а):
усматривается работа некой силы по замкнутому контуру.

Да, усматривается. Но чересчур уж долго усматривается. Это мало того, что надо переводить функцию в поле, но надо и ещё всякие там касательные векторы в нормальные. Ну или наоборот; не важно. Важно лишь то, что игра не стоит свечек.

Не говоря уж о том, что и сама по себе двумерность -- не вполне физична.

-- Ср янв 06, 2016 01:39:05 --

Дополню. Я так понял, что Вы озабочены наглядностями ТФКП. А о них не надо слишком уж заботиться. С одной стороны, она сама по себе вполне математически прозрачна даже и для инженерОв. А с другой -- о наглядности следовало заботиться раньше, в курсе матана (где криволинейные интегралы, и эта часть курса идёт заведомо ранее, чем ТФКП). Вот там -- физические приложения как раз более чем уместны. Ну а потом -- к ним уже все привыкли, и чего уж наводить тень на плетень. При случае -- можно, да; но это -- явно не тот случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Если только иллюстрация... Поручили Вам измерить что-то в точке z. А туда Вас сторож не пускает, хотя Вы и уверенны, что там ничего особенного нет, вот и ходите вокруг, измеряя параметр вдоль замкнутого пути L и усредняя значения. Чем дальше данная точка пути от искомой z, тем с меньшим весом войдёт, отсюда знаменатель подынтегрального выражения. А $2\pi i$ перед интегралом оттого, что обходим по кругу, отсюда Пи, и пересчитываем угловые координаты в декартовы, а там $z=x+iy=\rho e^{i\varphi}$, вот при замене переменных мнимая единица и появилась.
Только это не доказательство, и сомневаюсь, что "прояснение". Максимум - мнемоника, чтобы легче запомнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 10:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
кмк, сначала разобраться надо с "аналитичностью" с точки зрения физики... условия Коши-Римана похожи на какую-то потенциальность

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 11:03 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Евгений Машеров, это Вы сейчас сходу придумали, или позаимствовали где?
Идея хорошая, но у Вас получается аппроксимация (предсказание) значения функции в точке, а формула Коши не приблизительная, а точная.

Откуда собственно проблема. С помощью формулы Коши, можно определить не только значения функции, но и ее производных любого порядка, а это один из способов введения дробных производных.

-- 06.01.2016, 12:08 --

alcoholist в сообщении #1088431 писал(а):
кмк, сначала разобраться надо с "аналитичностью" с точки зрения физики... условия Коши-Римана похожи на какую-то потенциальность

Условие Коши-Римана не является неожиданным, вполне понято как оно получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 11:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alcoholist в сообщении #1088431 писал(а):
условия Коши-Римана похожи на какую-то потенциальность

Это ровно и есть потенциальность: аналитичность функции равносильна равенству нулю контурных интегралов.

Только физика тут не при чём -- это математическая потенциальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение06.01.2016, 11:56 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
ewert в сообщении #1088437 писал(а):
[
Только физика тут не при чём -- это математическая потенциальность.

Под физическими аналогиями в своем первом посте я имел в виду наглядные представления, а не физику.

-- 06.01.2016, 13:50 --

Евгений Машеров в сообщении #1088422 писал(а):
Если только иллюстрация... Поручили Вам измерить что-то в точке z. А туда Вас сторож не пускает, хотя Вы и уверенны, что там ничего особенного нет, вот и ходите вокруг, измеряя параметр вдоль замкнутого пути L и усредняя значения. Чем дальше данная точка пути от искомой z, тем с меньшим весом войдёт, отсюда знаменатель подынтегрального выражения. А $2\pi i$ перед интегралом оттого, что обходим по кругу, отсюда Пи, и пересчитываем угловые координаты в декартовы, а там $z=x+iy=\rho e^{i\varphi}$, вот при замене переменных мнимая единица и появилась.
Только это не доказательство, и сомневаюсь, что "прояснение". Максимум - мнемоника, чтобы легче запомнить.

Есть некоторая гористая местность и есть точка А высоту которой мы не знаем. Мы обходим эту точку по замкнутому контуру, на каждом шаге умножая длину шага на высоту места в котором находимся и деля на расстояние от нашего места до интересующей точки А и все это прибавляем к уже имеющейся сумме. Обошли контур, поделили полученную сумму на $2 \pi i и вот чудо, получили высоту точки А. :facepalm: Как это работает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение07.01.2016, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А теперь вопрос - почему функция, описывающая высоту горушки, аналитической не является?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение08.01.2016, 16:02 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Евгений Машеров в сообщении #1088825 писал(а):
А теперь вопрос - почему функция, описывающая высоту горушки, аналитической не является?

Если функция неаналитическая, то формула Коши не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Коши
Сообщение15.01.2016, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
prof.uskov в сообщении #1089009 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1088825 писал(а):
А теперь вопрос - почему функция, описывающая высоту горушки, аналитической не является?

Если функция неаналитическая, то формула Коши не работает.

Вот и не надо пытаться осмысливать формулу на таком примере, в котором эта формула "не работает".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group