2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мегажизнелюбивое число
Сообщение13.01.2016, 02:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Десятизначное число, в записи которого использованы все цифры от 0 до 9, назовём мегажизнелюбивым.
Некоторое мегажизнелюбивое число делится нацело на все простые числа, меньшие $k$.
Чему равно наибольшее целое значение $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мегажизнелюбивое число
Сообщение13.01.2016, 07:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
То есть надо сконструировать число, которое делится на наибольшее число простых без пропусков. Ноль в конце даёт делимость на два и пять. На три по любому делится. Дальше можно задействовать сразу три простых. Шестизначное число, которое на $9$ ещё делится, должно при умножении на $1001$ дать такое же девятизначное из разных ненулевых цифр!
Наберёмся нахальства и возьмём сразу четыре следующих простых: $17\cdot 19 \cdot 23\cdot 29=215441$. В последних трёх цифрах засада. Две одинаковые цифры. И при умножении на $2,3,4$ получаются две одинаковых. А дальше уже семизначные числа получаются. То есть $k\leqslant 29$ уже есть. А теперь просто проверка ста двадцати вариантов. Мне кажется, там нет подходящего. То есть $k$ снижается до $k\leqslant 23$. Пока. Наверное, аналитически всё гораздо проще :oops:

Легко подобрать $3215468970=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot 153117570$, так что с семёркой всё хорошо $(k=11)$.
А что если применить признак делимости на $11$? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мегажизнелюбивое число
Сообщение13.01.2016, 09:37 
Аватара пользователя


29/04/13
7135
Богородский
Применил уже. И на $11$, и на $13$.

Полюбуйтесь на число $1526394870$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мегажизнелюбивое число
Сообщение13.01.2016, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ага. То есть по признаку деления на $11$ выходит, что сумма цифр, стоящих на чётных или нечётных местах, должна быть равна $45-28=17$. То есть только два варианта: $1,2,3,4,7$ или $1,2,3,5,6$.
Теперь надо проверять деление на $17$ и $19$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мегажизнелюбивое число
Сообщение13.01.2016, 12:10 
Аватара пользователя


29/04/13
7135
Богородский
gris в сообщении #1090325 писал(а):
То есть только два варианта: $1,2,3,4,7$ или $1,2,3,5,6$.

Не только, есть ещё $9$ вариантов, когда сумма $4$-х цифр равна $17$.

Имеется всего $34$ искомых числа, делящихся на все простые до $17$ включительно.

Наименьшее из которых $1284953670$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group