Есть свойство:
Если случайное поле
локально-эргодично с областью статистической зависимости
, а
вырождено с равным нулю математическим ожиданием, то произведение собственных центрированных полей
есть локально-эргодическое поле и
.Необходимо его доказать.
Сам остановился вот на этом.
Уcловия эргодичности:
![$K^{(0)}_\lambda=1$ $K^{(0)}_\lambda=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/e/77e6f751327eaa777c6954372314476c82.png)
![$K^{(1)}_\lambda\equiv\left\langle\lambda^0(r)\right\rangle$ $K^{(1)}_\lambda\equiv\left\langle\lambda^0(r)\right\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/c/c3cca9ca00dda6d2dca27e0ab1b06d0f82.png)
![$
K^{(k)}_\lambda(r_1,...,r_k)=\left\langle\lambda^0(r_1)...\lambda^0(r_k)\right\rangle^{def}=\begin{cases}
\ne0,\forall\delta<\omega\\
\equiv0,\forall\delta\geqslant\omega\\
\end{cases}
$ $
K^{(k)}_\lambda(r_1,...,r_k)=\left\langle\lambda^0(r_1)...\lambda^0(r_k)\right\rangle^{def}=\begin{cases}
\ne0,\forall\delta<\omega\\
\equiv0,\forall\delta\geqslant\omega\\
\end{cases}
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/f/b5f7abecc8a1154801e1d519bf5eea6082.png)
где
![$\delta=\max|r_i-r_j|$ $\delta=\max|r_i-r_j|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/7/11799cd0de4b1d9b9e1ba5c08ca9576882.png)
;
![$i,j=\overline{1,k}$ $i,j=\overline{1,k}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/d/dfd913cbf95403dba7c15494462be9cc82.png)
и
![$\omega$ $\omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4fb5973f393577570881fc24fc205482.png)
- характерный размер области
![$\Omega_c$ $\Omega_c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/0/ba0921cddbb7bf7c1c4574f6d4c074e682.png)
Центрированные величины:
![$\theta^0(r)=[\theta(r)-\left\langle\theta(r)\right\rangle]$ $\theta^0(r)=[\theta(r)-\left\langle\theta(r)\right\rangle]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/2/0826fb07d21082bf32203b8cc59e421f82.png)
![$\lambda^0(r)=[\lambda(r)-\left\langle\lambda(r)\right\rangle]$ $\lambda^0(r)=[\lambda(r)-\left\langle\lambda(r)\right\rangle]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/7/937fc32d0e34639670197d4b1595961e82.png)
Подставляя в выражение для
![$\beta(r)$ $\beta(r)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/9/549e1076123b41a9c9418b7ddf4e8bb482.png)
получаем:
![$\beta(r)=[\theta(r)-\left\langle\theta(r)\right\rangle]\cdot[\lambda(r)-\left\langle\lambda(r)\right\rangle]$ $\beta(r)=[\theta(r)-\left\langle\theta(r)\right\rangle]\cdot[\lambda(r)-\left\langle\lambda(r)\right\rangle]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfd4b4c856db47b0242654da9f3cfb4882.png)
Вопрос такой, если
![$\theta(r)$ $\theta(r)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/4/25443be7b12987c55abf5d092b2767b582.png)
вырождено и
![$\left\langle\theta(r)\right\rangle=0$ $\left\langle\theta(r)\right\rangle=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/7/d17d0caf854c10e8647419cee7b82bf782.png)
то получается первая скобка обращается в нуль?
Если так, то получается что, если математическое ожидание
![$\left\langle\lambda(r)\right\rangle=0$ $\left\langle\lambda(r)\right\rangle=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/c/2ccc7889e2e6a047b84088b2eed3a4d282.png)
то
![$\beta(r)=\lambda(r)$ $\beta(r)=\lambda(r)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/2/862d61ff1b54091cfdfe0b6c4026336c82.png)
и это является доказательством?