2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нерефлексивность C(X)
Сообщение16.10.2010, 14:20 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Пусть $X$ - хаусдорфово компактное топологическое пространство, $C(X)$ - пространство непрерывных функций на нем с равномерной нормой.
Требуется показать, что последнее рефлексивно $\Leftrightarrow$ $X$ состоит из конечного числа точек.

В одну сторону все ясно.
В другую - полагается, что про Эберлейна-Шмульяна не знаем. Но Банаха-Алаоглу знаем.
Поэтому допустим, что $C(X)$ рефлексивно, тогда его единичный шар $D$ замкнут в *-слабой топологии.
$X$ хаусдорфово и компактно, а значит нормально.
Рассмотрим такую точку $x \in X$ у которой в любой окрестности имеется бесконечное множество других точек $X$ (следует из компактности и бесконечности). То есть если $\{\Gamma_{\lambda}\}$ - базис окрестностей $x$, то для каждого $\lambda$ выбираем $x_{\lambda} \neq x, x_{\lambda} \in \Gamma_{\lambda}$
Рассмотрим подмножества $D$:
$F_{\lambda} := \{f:f(x_\lambda)=0\} \cap \{f:f(x)=1\}$
Каждое из них непусто (как и пересечение любого их конечного набора) по лемме Урысона и замкнуто (ибо $f(y)$ - это интеграл по мере Дирака, преднорма в *-слабой топологии).
В компактном пространстве пересечение центрированного семейства замкнутых множеств непусто, значит, $\exists g \in D: \forall \lambda  \ g  \in F_{\lambda}$.
А это противоречит непрерывности $g$.
Все так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение16.10.2010, 15:56 


02/10/10
376
Уж раз пошла такая пьянка... Я бы предложил доказать, что $C(X)$ вообще не является сопряженным к какому-либо банахову пространству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение16.10.2010, 16:28 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
moscwicz
Это просто делается для $C([0,1])$, да. Где легко найти крайние точки единичного шара (которых всего две) и воспользоваться Крейном-Милманом, показав что шарик не является их выпуклой оболочкой.

Для общего случая $X$ сложнее. Ясно, что для того, чтобы порождаеть весь $D$ множество крайних точек должны содержаться функции, принимающие значения 1 и -1 на конечных множествах $A,B$ соответственно (но при этом прообразы могут быть шире). Тогда, если в к-ве $A$ взять $x$ выше, а в качестве $B$ - что-то связанное с $x_{\lambda}$, то может и получится. Только в д-ве выше я явно использовал устройство *-слабой топологии, тут неясно как это устроить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение17.10.2010, 08:10 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
id в сообщении #362699 писал(а):
Поэтому допустим, что $C(X)$ рефлексивно, тогда его единичный шар $D$ замкнут в *-слабой топологии.

Может в слабой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение17.10.2010, 12:45 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Для рефлексивного пр-ва это же одно и то же, просто я написал здесь буквально теорему Банаха-Алаоглу.

Или что-то не то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение17.10.2010, 14:09 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Теорема Банаха-Алаоглу звучит так : единичный шар $X^*$ компактен в $*$-слабой топологии. А у нас наоборот получается.
Или в рефлексивном пространстве слабая и $*$-слабая совпадают? Я не в курсе просто.

-- Вс окт 17, 2010 16:20:34 --

id в сообщении #362699 писал(а):
ибо $f(y)$ - это интеграл по мере Дирака, преднорма в *-слабой топологии

Вы, похоже, просто слабую топологию $*$-слабой называете. А так, всё правильно по доказательству, вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение17.10.2010, 15:16 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Ну так ведь мы знаем, что есть сопряженное к $C(X)$; если $C(X)$ рефлексивно, то оно есть сопряженное к этому пространству.

А в рефлексивном слабая и *-слабая совпадают, т.к. набор преднорм один и тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение17.10.2010, 15:51 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Понял. Всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение17.10.2010, 16:46 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Хорошо. Спасибо!

Интересно, а что по поводу предложения moscwicz?
Для $C[0,1]$ это просто, а вот в общем?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерефлексивность C(X)
Сообщение03.01.2016, 15:03 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5686
 i  Пост kond отделён в Каратин.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group