Вторые производные

[1r0pb]

Добрый день.

4. Покажите, что ${\triangledown}^{2}f(x)-$ матрица с элементами ${\partial}^{2}f(x)/\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}.$

Ну, видимо, нужно опираться на определение дважды дифференцируемой функции:

Опр-ие 1: Скалярная функция $f(x)$ на $R^n$ называется дважды дифференцируемой в точке $x$, если она дифференцируема в этой точке и найдется симметричная $n\times n$-матрица $H$ такая, что для всех $y\in R^n$
$f(x+y)=f(x)+(\triangledown f(x),y)+(Hy,y)/2+o({\rVert y \lVert}^{2}).$*

Опр-ие 2 ($\triangledown f(x)$ - градиент): topic104102.html - см. оффтоп.

*Эта матрица называется матрицей вторых производных, матрицей Гессе или гессианом и обозначается $f''(x)$ или ${\triangledown}^{2}f(x).$

Идей пока нет - ушел думать.

А если так рассуждать: любая симметричная матрица определяет некую квадратичную форму, где, в свою очередь, элементы матрицы как раз и представляются смешанными частными производными второго порядка.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Когда придете, изложите идеи, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.