2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение экспоненциальных операторов
Сообщение08.12.2015, 16:49 


08/03/11
186
При решении задач по теории возмущений столкнулся с необходимостью вычислять следующее произведение:

$\exp(x_1) \exp(x_2) \dots \exp(x_n) = \exp(y)$

где $x_i = x_i(\varepsilon) = \varepsilon x_{i}^{(1)} + \varepsilon^2 x_{i}^{(2)} + \dots $ -- какие то элементы алгебры Ли и $\varepsilon$ -- параметр возмущения.

Необходимо определить $y^{(1)},y^{(2)},\dots,y^{(k)}$ для любого числа $n$ операторов в произведении.
При этом эти коэффициенты требуется выразить через коммутаторы, так как дальше используются разные морфизмы между скобками.

Есть ли уже готовые формулы для коэффициентов? Что можно почитать по этой теме?

В принципе мне удалось придумать как вычислять коэффициенты (но не хочется зря делать это, если это уже известно, да и формулы страшные), например:

$y^{(1)} = \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}^{(1)}$

$
\begin{array}{rcl}
 y^{(2)} &=&  \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}^{(2)} \\
 &+&  
\sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{1}{1+\delta_{i,j}} \frac{1}{2} \{x_{i}^{(1)},x_{j}^{(1)}\} \\
\end{array}
$

$
\begin{array}{rcl}
 y^{(3)} &=&  \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}^{(3)} \\
 &+&  \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{1}{1+\delta_{i,j}} \frac{1}{2} (\{x_{i}^{(1)},x_{j}^{(2)}\} + \{x_{i}^{(2)},x_{j}^{(1)}\}) \\
 &+& \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant k \leqslant n} \frac{1}{1+\delta_{i,j}} \frac{1}{1+\delta_{i,k}+\delta_{j,k}}(
\frac{1}{4}\{\{x_{i}^{(1)},x_{j}^{(1)}\},x_{k}^{(1)}\} - \frac{1}{12} \{\{x_{i}^{(1)},x_{k}^{(1)}\},x_{j}^{(1)}\}
- \frac{1}{12} \{\{x_{j}^{(1)},x_{k}^{(1)}\},x_{i}^{(1)}\})
\end{array}
$

Здесь $\{a,b\} = a b - b a$ -- коммутатор и $\delta_{i,j}$ -- дельта Кронекера. В этих формулах есть некоторая избыточность,
например, $\frac{1}{1+\delta_{i,j}}$ в некоторых местах можно убрать изменив пределы суммирования, но это не влияет на ответ, так как $\{x_{i}^{(j)},x_{i}^{(j)}\} = 0$.

Еще интересует можно ли как то проще переписать эти суммы? Например, через интегралы или используя тождество Якоби?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение экспоненциальных операторов
Сообщение08.12.2015, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Есть книжка
Назайкинский, Стернин, Шаталов. Методы некоммутативного анализа.
Я не уверен, что в ней вы найдёте ответ, но она мне вспомнилась. Кажется мне, она вся про это.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group