Разложение комплексной функции в ряд Маклорена

[eugrita]

Найти все разложения функции $f(z)=\frac{z}{\sqrt[3]{z^3+3z^2+3z}}$ по степеням $z+1$
Попытка решения
1)замена $t=z+1$ $z=t-1$
$f(t)=\sqrt[3]{\frac{t^2-2t+1}{t^2+t+1}}=\sqrt[3]{1-\frac{3t}{t^2+t+1}}$
Функция регулярна внутри круга $|t|<1$
Ищем разложение в ряд Маклорена в окрестности руля

[Brukvalub]

eugrita в сообщении #1075843 писал(а):

Функция регулярна всюду.

Вот исходная функция никак не могла быть регулярной всюду: знаменатель у нее зануляется в трех точках, вокруг которых и начинает ветвиться. Как же случилось такое чудо, что после сдвига аргумента функция чудесным способом стала всюду регулярной?

[eugrita]

да черт попутал -рассуждал как для веществ переменной.3 особые точки равноудаленные от нуля
$t_{1,2}=-0.5 \pm \sqrt{3}/2$ , $t_3=1$
Рассматриваем 2 случая а)внутренность круга $|t|<1$
б)внешность круга $|t|>1$

[Vince Diesel]

В знаменателе почти $(z+1)^3$.

[eugrita]

1)для внутренности круга заменой $y=t^3$ сводим к биномиальному ряду с т.н. дробными коэффициентами - числами сочетаний
2)Для внешности круга -ряд Лорана. Точка $t_3=1$ устранимая особенность. Вычет в ней =0

[Otta]

$t$, я так понимаю, равно $z+1$?

eugrita в сообщении #1077210 писал(а):

Точка $t_3=1$ устранимая особенность. Вычет в ней =0
Но вот для $t_1,t_2$ получается полюс не целого а дробного порядка и формулы типа
$\operatorname{res} =\lim f(t) \cdot (t-t_1) $ для данного случая можно выбросить на помойку.

Вы прослушали то, что Вам уже сказали. Нет там никаких устранимых особенностей, как и полюсов дробного порядка (которых вообще не бывает). Это все точки ветвления. Полюса, устранимые особенности и прочее, - это изолированные особые точки однозначного характера. И только в них можно считать вычеты. А зачем Вам понадобились вдруг вычеты, Вас же не просили?

eugrita в сообщении #1077210 писал(а):

И видимо не обойтись без расчета комплексного интеграла по замкнутому контуру, охватывающему круг $|t|=1$

Это должно быть увлекательное зрелище, но лучше не надо. Да и смысл?

[eugrita]

---

[Otta]

eugrita в сообщении #1077236 писал(а):

ну хорошо. видимо многим не нравится обозначение аргумента $t$ - меняю далее на $z$

С моей стороны это было уточнение. К сдвигам я равнодушна.
eugrita, Вы чего хотите от этой жизни? Начиналось все с рядов Лорана, уже вычеты. Что нужно на самом деле?

-- 27.11.2015, 09:37 --

eugrita в сообщении #1077236 писал(а):

По теореме сумма всех вычетов=0.

Не всегда. У теоремы есть условия.

eugrita в сообщении #1077236 писал(а):

но ведь при $z_0=0$ исх функция аналитична, значит вычет=0?

Нет. Нет.

[eugrita]

надо теперь всего лишь найти разложение в ряд Лорана в кольце $|z|>1$

[Otta]

Я не понимаю. Вы же по степеням $(z+1)$ раскладывали. Почему теперь это кольцо? Вы не имеете права в нем раскладывать, в него попадают две точки ветвления, функция в нем не будет аналитической однозначного характера.

[eugrita]

---

[Otta]

А. Ну а я откуда об этом должна догадаться.
Эту можно раскладывать в кольце $|t|>1$, да. (Извините, я буду сохранять обозначения. Во избежание недоразумений.)

-- 27.11.2015, 10:04 --

Не надо загонять все в единую степень, как в последнем действии, в комплексном случае это может привести к неожиданным последствиям.

[eugrita]

---

[Otta]

А зачем Вам тот предел?

-- 27.11.2015, 10:37 --

eugrita
Вы сформулировали одно задание и упорно решаете другое. Все, я так не играю. Тем более, функционируете Вы абсолютно автономно от моих ответов.

У Вас многозначная функция. Чем бы Вы ни занимались - раскладывали в ряд Лорана, вычисляли вычет, Вам придется сперва определиться, для какой ветви Вы это делаете, выделить эту ветвь, если это возможно, а уже потом вернуться к своим занятиям. Можно по-прежнему без моего участия. :)

[eugrita]

Итак ,Нашел короткое решение. Вот оно
Во внешности круга $|t|>1$ исходную функцию (выраженную как от t) записываем так
$f(t)=\frac{t-1}{\sqrt[3]{t^3-1}}=(1-1/t) \cdot (1-1/t^3)^{-1/3}$
2й множитель так же раскладываем в сходящийся биномиальный ряд так как $\|\frac{1}{t^3}|<1$
и этот биномиальный перемножаем на 1-й множитель. Получаем ряд Лорана (иррегулярную его часть).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Формально на вопрос задачи ответили - вот ряд, и здесь он сходится. Но по-моему остается коварный вопрос об
областях продолжения, существования. Ведь корень кубический дает точку ветвления где у нас ? в бесконечности или
при обращении знаменателя в нуль на единичном круге?
Поэтому сам не знаю, правильно будет чтобы спасти это решение начать с другого как-бы конца:
Разбить функцию на композицию простых
$f(t)=w(v(u(t)))$
где $u(t)=t+1/t$ -ф.Жуковского с точностью до множителя
$v(u)=1-\frac{3}{u+1} $ дробно-линейная
$w(v)=\sqrt[3]{v}$ -источник точек ветвления.
И плясать с конца -приняв за образ $G_w$на плоскости w например,
внутренность угла $0<\varphi < 2 \pi /3$
а дальше искать прообразы - при дробно-линейном прообраз угла $G_v$будет круговой сегмент
при обратной от Жуковского дуга окружности перейдет в дугу эллипса .
И таким образом построить область однозначности исходной функции??

Прим. Только двойку не ставьте, хотя бы троечку за ответ!!!