Замкнутость пространства функций с нулевым средним на сфере

[Jane Eyre]

Здравствуйте.
Проблема состоит в следующем. Рассматривается пространство функций $u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^1$, принадлежащих пространству $L_p^{loc}( \mathbb{R}^n), $ удовлетворяющих условию $ \int \limits_{S_1} u(x)ds=0$
и имеющих конечную норму
$ ||u||_1=||\nabla u||_{L_p (\mathbb{R}^n)}. $
Нужно доказать, что это пространство замкнуто. Я пошла по следующему пути.
Пусть $u_n \rightarrow u$ в данном пространстве (то есть по норме $|| \cdot||_1$). Покажем, что $\int \limits_{S_1} u(x)ds=0.$ Обозначим $B_1=\{x \in \mathbb{R}^n |\ |x| \le 1\}$. Меру единичной сферы в $\mathbb{R}^n$ обозначим через $\sigma$. Имеем:
$ \left( \int \limits_{S_1} (u-u_n)ds \right)^p \le$ $ \left( \int \limits_{S_1} |u-u_n|ds \right)^p=$ $||u-u_n||^p_{L_1(S_1)} \le \sigma^{p-1}||u-u_n||^p_{L_p(S_1)} \le$ $ \le \sigma^{p-1}c \left(||\nabla u- \nabla u_n||^p_{L_p(B_1)}+\left| \int \limits_{S_1} (u-u_n)ds \right|^p \right), $
где $c$ - постоянная из неравенства типа Фридрихса.
Учитывая, что $\int \limits_{S_1} u_n(x) ds=0$, и переходя к пределу при $n \rightarrow \infty$, получаем:
$ \left( \int \limits_{S_1} u(x) ds \right)^p \le \sigma^{p-1}c\left| \int \limits_{S_1} u(x) ds \right|^p. $
Если бы $\sigma^{p-1}c$ было меньше 1, то утверждение было бы доказано. Может ли точная константа из неравенства Фридрихса быть такой, чтобы $\sigma^{p-1}c$ было меньше 1? (у меня подозрение, что нет). Наверное, надо идти другим путём? Может быть, требуемый факт уже где-то доказан? Буду очень признательна за идеи.

[Jane Eyre]

Свой вопрос снимаю, разобралась.