2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Высечка из парабалоида
Сообщение11.02.2006, 11:47 


11/02/06
6
Здраствуйте.
Очень прошу вашей помощи.

Задача такова:
есть парабалоид вращения с фокусом в точке F.
y=(x^2+z^2)/4F - вроде бы так, если я не ошибаюсь (хотя не уверен).
есть цилиндр, радиусом R, который прооходя параллельно оси фокуса парабалойда высекает из него некую фигуру -- элипс.
Возможно ли получить формулу поверхности нашей высеченной фигуры. Чтобы возможно было определение любой точки в пространстве для высеченой поверхности.

Вот как это выглядит на рисунке:
Изображение

Очень надеюсь на вашу помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высечка из парабалоида
Сообщение11.02.2006, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14010
Новомосковск
X_NU писал(а):
Задача такова:
есть парабалоид вращения с фокусом в точке F.
y=(x^2+z^2)/4F - вроде бы так, если я не ошибаюсь (хотя не уверен).
есть цилиндр, радиусом R, который прооходя параллельно оси фокуса парабалойда высекает из него некую фигуру -- элипс.


Как-то не очень понятно сформулировано. Рисунок как будто бы показывает, что ось параболоида совпадает с одной из образующих цилиндра, так что уравнение цилиндра можно взять в виде $x^2+(z-R)^2=R^2$. Однако пересечение цилиндра и параболоида эллипсом назвать трудно. И непонятно, что означает красный сегмент на рисунке.

X_NU писал(а):
Возможно ли получить формулу поверхности нашей высеченной фигуры. Чтобы возможно было определение любой точки в пространстве для высеченой поверхности.


Да формула-то стандартная: $$S=\iint\limits_{\mathcal D}\sqrt{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2+1}dxdz$$$, где $\mathcal D$ - область, определяемая неравенством $x^2+(z-R)^2\leqslant R^2$. Вычислять интеграл проще в полярных координатах.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2006, 21:44 


11/02/06
6
В данном случае на рисунке действительно так - ось параболоида совпадает с одной из образующих цилиндра. Однако - это частный случай, хотелось бы рассмотреть и вариант при котором образующая не совпадает с осью парабалоида.

Насчёт красного сегмента на рисунке -- он ничего не означает.

А какая всё же фигура получится?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2006, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14010
Новомосковск
X_NU писал(а):
В данном случае на рисунке действительно так - ось параболоида совпадает с одной из образующих цилиндра. Однако - это частный случай, хотелось бы рассмотреть и вариант при котором образующая не совпадает с осью парабалоида.


Общий случай ничем от частного не отличается, кроме области интегрирования. Кстати, результат через элементарные функции не выражается, получаются эллиптические интегралы.

X_NU писал(а):
А какая всё же фигура получится?


Я не думаю, что она имеет какое-нибудь специальное название.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2006, 22:26 


11/02/06
6
Как этот интеграл будет выглядеть для моего случая с моими формулами?
Чего-то с интегралами я не особо дружу ещё с института. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14010
Новомосковск
X_NU писал(а):
Как этот интеграл будет выглядеть для моего случая с моими формулами?


Здесь $\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{x}{2F}$, $\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{z}{2F}$. Подставляя в интеграл, получим $$S=\frac{1}{2F}\iint\limits_{\mathcal D}\sqrt{x^2+y^2+4F^2}dxdz$$.
Переходим к полярным координатам: $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, $|j(r,\varphi)|=r$. Область интегрирования $x^2+(z-R)^2\leqslant R^2$, то есть, $x^2+z^2\leqslant 2Rz$, превращается в
$$\begin{cases}0\leqslant r\leqslant 2R\sin\varphi,\\0\leqslant\varphi\leqslant\pi.\end{cases}$$
Расставляя пределы интегрирования, получим
$$S=\frac{1}{2F}\int\limits_0^{\pi}d\varphi\int\limits_0^{2R\sin\varphi}\sqrt{r^2+4F^2}rdr=\frac{1}{4F}\int\limits_0^{\pi}d\varphi\int\limits_0^{2R\sin\varphi}\sqrt{r^2+4F^2}d(r^2+4F^2)=$$.
$$=\frac{1}{4F}\int\limits_0^{\pi}d\varphi\left .\frac{2}{3}\sqrt{(r^2+4F^2)^3}\right |_0^{2R\sin\varphi}=\frac{1}{6F}\int\limits_0^{\pi}\left(\sqrt{(4R^2\sin^2\varphi+4F^2)^3}-8F^3\right)d\varphi=$$
(интеграл от второго слагаемого сразу вычисляется, а в оставшемся интеграле пользуемся симметрией подынтегральной функции: $\sin\varphi=\sin(\pi-\varphi)$; поэтому интегралы по промежуткам $[0,\frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2},\pi]$ равны)
$$=\frac{8F^2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(1+\frac{R^2}{F^2}\sin^2\varphi\right)^3}d\varphi-\frac{4}{3}\pi F^2$$.
После целого ряда преобразований, с которыми мне не хочется возиться, этот интеграл можно выразить через полные эллиптические интегралы первого и второго рода:
$$\mathrm K(m)=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-m\sin^2\varphi}}d\varphi$$ и $$\mathrm E(m)=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-m\sin^2\varphi}d\varphi$$, где $m=-\frac{R^2}{F^2}$.
Окончательный результат, полученный с помощью программы Mathematica, такой:
$$S=\frac{16}{9}(2F^2+R^2)\mathrm E\left(-\frac{R^2}{F^2}\right)-\frac{8}{9}(F^2+R^2)\mathrm K\left(-\frac{R^2}{F^2}\right)-\frac{4}{3}\pi F^2$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 13:05 


11/02/06
6
Спасибо.
Полученные расчёты, как я понял дают нам площадь полученной (высеченой) фигуры.
На самом деле меня интересовала немного другая вещь.
Возможно ли получить некую функцию F(x,y,z) (уравнение, систему уравнений, или нечто другое) с помошью которой можно было бы определить положение каждой точки в пространстве для высечки из парабалоида.
Т.е. чтобы была возможность зная x,y координаты точки возможно было бы найти её z координату.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14010
Новомосковск
X_NU писал(а):
Возможно ли получить формулу поверхности нашей высеченной фигуры.


Значит, я не понял, о чём Вы спрашивали. Процитированный выше вопрос - это вопрос о площади. А на последующие слова я не обратил внимания, поскольку не видел там проблемы (и сейчас не вижу).

X_NU писал(а):
Возможно ли получить некую функцию F(x,y,z) (уравнение, систему уравнений, или нечто другое) с помошью которой можно было бы определить положение каждой точки в пространстве для высечки из парабалоида.
Т.е. чтобы была возможность зная x,y координаты точки возможно было бы найти её z координату.


У нас есть уравнение параболоида $y=\frac{x^2+z^2}{4F}$ и неравенство, определяющее внутренность цилиндра $x^2+(z-R)^2\leqslant R^2$. Если нам задана точка $(x,y)$, то мы можем из уравнения параболоида найти $z_{1,2}=\pm\sqrt{4Fy-x^2}$ (точки существуют, если $4Fy\geqslant x^2$) и проверить, удовлетворяет ли какая-нибудь из точек $(x,y,z_1)$ и $(x,y,z_2)$ неравенству $x^2+(z-R)^2\leqslant R^2$, которое можно упростить до условия $2Fy\leqslant Rz$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 17:41 


11/02/06
6
Спасибо -- это, по моему, то что я искал.

Возможно ли построить график поверхности полученной высечки из парабалоида (средствами MatCad например). Если это возможно подскажите пожалуйста как. А то у меня почему-то не получается. Парабалоид строится, а как записать неравенство для высечки -- я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2006, 12:38 


11/02/06
6
Подскажите пожалуйста.
Возможно ли полученные формулы, для расчёта координат точек перенести в другую систему координат.
То есть необходимо сделать вот что: повернуть существующую систему координат вокруг одной из осей (в нашем случае OZ) на некоторый угол (ось OY), причём, при этом повороте ось системы координат должна совпасть с красной областью на моём рисунке. То есть проходить через самую верхнюю точку высечки из парабалоида.

То что я написал вообще возможно или нет?
Как при этом изменятся формулы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высечка из парабалоида
Сообщение04.11.2015, 10:28 


15/04/10
770
г.Москва
вообще-то есть класс родственных вашей задач в Бауманке.
1) Найти объем (не поверхность) пересечения параболоида с вертикальным смещенным относительно оси параболоида цилиндром
2)Найти объем пересечения эллипсоида с вертикальным смещенным относительно оси цилиндром
и возможно придумать еще что-то такое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Высечка из парабалоида
Сообщение05.11.2015, 08:29 
Модератор


20/03/14
6854
Сомневаюсь, что автору будет полезно это услышать через 9 лет.
 !  eugrita
Замечание за 1) оффтоп, 2) некропостинг.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group