2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Найти рациональные решения уравнения
Сообщение29.10.2015, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Найти рациональные решения уравнения

$\[
x^2  + y^2  + z^4  = 1
\]
$

p.s. Есть двухпараметрическое решение

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение29.10.2015, 17:27 


26/08/11
2057
Решить вряд ли смогу, но найти решения (серию) можно. Решениями уравнения $a^2+b^2+c^2=1$ являются:

$a=\dfrac{2m}{m^2+n^2+1},\;b=\dfrac{2n}{m^2+n^2+1},\;c=\dfrac{n^2-m^2+1}{m^2+n^2+1}$

Выберем, напр. первое:

$z^2=\dfrac{2m}{m^2+n^2+1}$ положим $m=2u^2,n=2u^4$, получим $z=\dfrac{2u}{2u^4+1}$

Но оно однопараметрическое :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение29.10.2015, 18:29 


26/08/11
2057
Двухпараметрическое станет, после $m=2u^2$ - числитель квадрат, знаменатель:

$4u^4+n^2+1=d^2$

$(d-n)(d+n)=4u^4+1$

$\\d-n=v\\
d+n=\dfrac{4u^4+1}{v}\\
\\
n=\dfrac{4u^4+1-v^2}{2v}$

Вот уже двухпараметрическое...но все равно неполное. Арифметику не проверял...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение29.10.2015, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Это тождество в решении используется, но по другому

Рассмотрите
$\[
x^2  + y^2  = \left( {1 + z^2 } \right)\left( {1 - z^2 } \right)
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение29.10.2015, 20:39 


26/08/11
2057
Если правильно улавливаю мысль, $x^2+y^2$ разлагается на множители, кажды из которых представим в виде $a^2+b^2$, тоесть, $1-z^2=a^2+b^2$

и воспользоватся тождеством $(a^2+b^2)(z^2+1)=(az+b)^2+(a-bz)^2$

$a^2+b^2+z^2=1$ имеет двухпараметрическое решение, значит $x=az+b,\;y=a-bz$

Пока не знаю все ли тут корректно, будет ли решение полным.

-- 29.10.2015, 20:20 --

Shadow в сообщении #1068183 писал(а):
Пока не знаю все ли тут корректно, будет ли решение полным.

Кажется все ок. Ведь для любой рацоналной тройки $(x,y,z)$ существует рациональная пара $(a,b)$ такая, что

$\\x=az+b\\
y=a-bz$

и воспользоватся тождеством.

Получается такая жесть, много не проверял:

$x=\dfrac{2(m^3+m^2n-mn^2+m+n^3+n)}{(m^2+n^2+1)^2}$

$y=\dfrac{2(m^3-m^2n+mn^2+m+n^3-n)}{(m^2+n^2+1)^2}$

$z=\dfrac{m^2-n^2+1}{m^2+n^2+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение29.10.2015, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Всё правильно.
Можно доказать, что если для рациональных чисел выполняется

$c(a^2+b^2)=m^2+n^2$

то $c$ является квадратом или представимо суммой квадратов рациональных чисел.
Следовательно, в задаче
$1-z^2=k^2+t^2$

Приведённое ранее тождество описывает все возможные тройки рациональных чисел (это тоже доказывается).
За $z$ можно взять любое из трёх приведённых выражений для $a,b,c $
Так как
$\[
x^2  + y^2  = \left( {k^2  + t^2 } \right)\left( {1 + z^2 } \right) = \left( {k - tz} \right)^2  + \left( {t + kz} \right)^2  = \left( {k + tz} \right)^2  + \left( {t - kz} \right)^2 
\]$

то получим 6 вариантов двухпараметрических решений и по логике доказательства это все решения в обезличенных переменных.
В конкретных числах возможны и другие представления произведения в виде суммы двух квадратов. Тут что-то сказать сложно.

Результат этой задачи позволяет найти рациональные решения уравнения

$x^2+y^4+z^4=1$

Поищем!

А там недалеко и до уравнения
$x^4+y^4+z^4=1$
:D

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение30.10.2015, 08:09 


26/08/11
2057
Shadow в сообщении #1068114 писал(а):
Решениями уравнения $a^2+b^2+c^2=1$ являются:

$a=\dfrac{2m}{m^2+n^2+1},\;b=\dfrac{2n}{m^2+n^2+1},\;c=\dfrac{n^2-m^2+1}{m^2+n^2+1}$
Ошибочка,

$c=\dfrac{m^2+n^2-1}{m^2+n^2+1}$

и другие надо исправить

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение30.10.2015, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Я "немного" преувеличил число вариантов решения. Реально всего один вариант.

Для снижения громоздкости обозначим

$$\[
S_{a,b}  = \frac{{2a}}{{1 + a^2  + b^2 }}
\]
$

$$\[
S_{b,a}  = \frac{{2b}}{{1 + a^2  + b^2 }}
\]
$

$$\[
C_{a,b}  = C_{b,a}  = \frac{{1 - a^2  - b^2 }}{{1 + a^2  + b^2 }}
\]
$

Тогда

$\[
\left( {S_{a,b} } \right)^2  + \left( {S_{b,a} } \right)^2  + \left( {C_{a,b} } \right)^2  = 1
\]$

Теперь к задаче.

Варианты
$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 z = S_{a,b}  \\ 
 z = S_{b,a}  \\ 
 \end{array} \right.
\]
$
отличаются только перестановкой переменных и можно считать, что это один вариант.


$$\[
x^2  + y^2  = \left( {k^2  + t^2 } \right)\left( {1 + z^2 } \right) = \left( {k - tz} \right)^2  + \left( {t + kz} \right)^2  = \left( {k + tz} \right)^2  + \left( {t - kz} \right)^2 
\]$
Здесь тоже один вариант, если иметь ввиду, что $t$ может быть и отрицательным.

И самое интересное.
Функции $S_{x,y}$ и $C_{x,y}$ рационально эквивалентны. То есть, существует рациональное преобразование одной функции в другую и обратно.

$$\[
S_{a,b}  = C_{x,y}  \Rightarrow x = \frac{{C_{a,b} }}{{S_{a,b}  + 1}},y = \frac{{S_{b,a} }}{{S_{a,b}  + 1}}
\]$

$$\[
C_{x,y}  = S_{a,b}  \Rightarrow a = \frac{{1 + S_{y,x} }}{{C_{x,y} }},b = \frac{{S_{x,y} }}{{C_{x,y} }}
\]$

Т.о. практически мы имеем один вариант решения, который охватывает все решения
уравнения.
Выберем вариант Shadowа (с исправлением)

$$\[
x = 2\frac{{\left( {a^3  + a^2 b + ab^2  + b^3 } \right) + \left( {a - b} \right)}}{{\left( {1 + a^2  + b^2 } \right)^2 }}
\]$

$$\[
y = 2\frac{{\left( { - a^3  + a^2 b - ab^2  + b^3 } \right) + \left( {a + b} \right)}}{{\left( {1 + a^2  + b^2 } \right)^2 }}
\]$

$$\[
z = \frac{{1 - a^2  - b^2 }}{{1 + a^2  + b^2 }}
\]$

Все остальные варианты рационально эквивалентны выбранному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение30.10.2015, 16:58 


26/08/11
2057
Коровьев в сообщении #1068430 писал(а):
Т.о. практически мы имеем один вариант решения, который охватывает все решения
кроме $x=0,y=0,z=-1$ - единственное исключение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение31.10.2015, 17:10 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Замечу, что параметрическое решение уравнения $a^2+b^2+c^2=1$
$a=\dfrac{2m}{m^2+n^2+1},b=\dfrac{2n}{m^2+n^2+1},c=\dfrac{m^2+n^2-1}{m^2+n^2+1}$
не является полным. Пример - три дроби $3/37,8/37,36/37$ в качестве $a,b,c$ в любом порядке.
Может быть, лучше было воспользоваться полным решением этого уравнения
$a=\dfrac{m^2+n^2-p^2-q^2}{m^2+n^2+p^2+q^2}$
$b=2\dfrac{mp+nq}{m^2+n^2+p^2+q^2}$
$c=2\dfrac{np-mq}{m^2+n^2+p^2+q^2}$
Само по себе изложенное решение нравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение01.11.2015, 01:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Надо же! :shock:
А я всё время считал что эта формула полная, тем более, что выводится она в две строчки.
В этой теме я получил эту расширенную формулу для рац.точек на единичном шаре.
Но там нет доказательства её полноты (хотя я там и написал, что это все рац.точки :oops: )
Интересно, полная она или нет. Слегка порылся, но ничего об этом не нашёл.
Для единичного круга у Острика есть доказательство. Мне думается, что метод секущей подойдёт и для единичного шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение01.11.2015, 05:37 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
scwec
Разве ваш пример не получается выбором $m=3$, $n=8$? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение01.11.2015, 11:30 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Да, Вы правы. А дроби эти получились из того, что решение уравнения $x^2+y^2+z^2=t^2$
$x=k^2-m^2+n^2,y=2km,z=2mn,t=k^2+m^2+n^2$ в натуральных числах не является полным.
И пример именно $3,36,8,37$. Тоньшей надо работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение01.11.2015, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
По моему, в нижеследующем выводе есть доказательство полноты.

Для любых заданных рациональных $a,b$ найдём такие рациональные $x,y$, чтобы выполнялось

$a^2+b^2=x^2-y^2$

Пусть это уравнение выполняется. Тогда для некого рационального $t$ имеем

$x+y=t$

тогда

$$\[
x - y = \frac{{a^2  + b^2 }}{t}
\]$

отсюда

$$\[
x = \frac{{t^2  + a^2  + b^2 }}{{2t}},y = \frac{{t^2  - a^2  - b^2 }}{{2t}}
\]$

И это все возможные пары рациональных $x,y$, для которых выполняется исходное уравнение при различных рациональных $t$.
Действительно, для любой пары $x_0,y_0$, если выполняется уравнение, найдётся $t_0$, что выполняется

$x_0-y_0=t_0$

а, значит, выполняются выражения для $x,y$

Окончательно формула имеет вид

$$\[
\left( {\frac{{2ta}}{{t^2  + a^2  + b^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{2tb}}{{t^2  + a^2  + b^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{t^2  - a^2  - b^2 }}{{t^2  + a^2  + b^2 }}} \right)^2  = 1
\]$

верная для любых $t$ и в частности, для $t=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение02.11.2015, 12:38 


26/08/11
2057
Решениями в рац. числах уравнения $x^2+y^2+z^2=1$ являются $x=0,y=0,z=+1$, а также

$x=\dfrac{2a}{a^2+b^2+1},\;\; y=\dfrac{2b}{a^2+b^2+1},\;\;\ z=\dfrac{a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1},\;\;\forall a,b \in \mathbb{Q} \qquad (1)$

Решение $z=1$ очевидно нельзя получить, гляда на формулу для $z$ и оно единственное такое. Решения получаются (по методу секущих) с помощью подстановки

$x=a(1-z),\;y=b(1-z)\qquad (2)$

что сразу дает ответ на вопрос: при каких значениях параметров получается конкретно некоторое решение $(x,y,z\ne 1)$ - при $a=\dfrac{x}{1-z},\;b=\dfrac{y}{1-z}\qquad (3)$

Полнота: если формул (3) подставить в (1), получим

$\dfrac{2x(1-z)}{x^2+y^2+(1-z)^2},\;\;\dfrac{2y(1-z)}{x^2+y^2+(1-z)^2},\;\;\dfrac{2(x^2+y^2)}{x^2+y^2+(1-z)^2}-1$

и если действительно $x^2+y^2=1-z^2$, получим $x,y,z$

Очевидна и единственость - невозможность при различных значений параметров получить одно и тоже решение. (Геометрически, система (2) задает множество прямых в пространстве проходящих через точку $(0,0,1)$, за исключением "те" в плоскости $y=1$. Различные значения параметров задают различные прямые, но через 2 точки проходит только одна прямая)

И эта параметризация хорошая, потому что пропускает только одно решение. Если, например, зададим

$\\y=ax\\
z=bx+1$

и решаем уравнение относительно $x$, получим другую параметризацию:

$x=\dfrac{2a}{1+a^2+b^2},\;\; y=\dfrac{2ab}{1+a^2+b^2},\;\;\ z=\dfrac{1+a^2-b^2}{1+a^2+b^2}$

и потеряем все решения в плоскости $x=0$. А их там много.
Тоесть, в любом случае теряем всех решений в некоторой плоскости, содержащей базовую точку. И хорошо, если эта плоскость - касательная. Можно, например, придумать "хорошую" параметризацию для уравнения $x^2+y^2+z^2=3$.
scwec в сообщении #1069072 писал(а):
А дроби эти получились из того, что решение уравнения $x^2+y^2+z^2=t^2$
$x=k^2+m^2-n^2,y=2km,z=2mn,t=k^2+m^2+n^2$ в натуральных числах не является полным.
И пример именно $3,36,8,37$.
В таком виде не получается тождество, получается при $x=k^2-m^2+n^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group