2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение08.08.2015, 17:42 


07/08/15
3
Уважаемый vasili! Вы раскрыли "только те скобки, которые содержат z"

Вот они (из формулы (9)):

$$4(z-x +1) x^3 + 6x^2(z-x +1)(z-x +2) +

+2x (z-x +1)(z-x +2)(2z-2x + 3) + [(z-x +1)(z-x +2)]^2 =

= [(z +1) (z +2)]^2- 4z^3 $$

После переноса правой части в левую можно получить:

$4(z-x +1) x^3 + 6x^2(z-x +1)(z-x +2) +

+2x (z-x +1)(z-x +2)(2z-2x + 3) + [(z-x +1)(z-x +2)]^2 - [(z +1) (z +2)]^2  + 4z^3$ (A)

Вы преобразовали это выражение и получили следующее:

$\4z^3+12z^2x^2 -6zx^2+18zx -4z^3x-12x$ (B)

Я тоже преобразовал это выражение ( с помощью сервиса http://www.wolframalpha.com/input/?i=+4 ... B4*z%5E3++)
но получил совсем другое:

$\ -x^4 -2x^3-x^2+4z^3$  (C)

Проверим на конкретных числах. Пусть $ x=1, z=0

Тогда получаем:

выражение (A) равно (-4),
выражение (B) равно (-12),
выражение (С) равно (-4).

То есть, (A) не равно (B).
Значит, в процессе раскрытия скобок, содержащих z, имели место ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение09.08.2015, 06:35 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Alexis_11! Я благодарен Вам за найденную ошибку и за способ оценки правильности преобразований.
Чтобы закрыть тему следует доказать, что левая часть не равна или равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение09.08.2015, 09:07 


07/08/15
3
Если мы рассмотрим оставшиеся слагаемые левой части
$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) +2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1)+ [(x-y-1)(x-y) ]^2 $$
и вновь обратимся к сервису http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %29%29%5E2 ,
то после преобразования получим
$$x^4  -2 x^3  + x^2  -4y^3$$
Прочие слагаемые левой части, содержащие $z$, после преобразования дали
$$-x^4  -2 x^3  - x^2  +4z^3$$
Складываем результаты обоих преобразований и получаем
$$ x^4  -2 x^3  + x^2  -4y^3     -x^4  -2 x^3  - x^2  +4z^3  =  0$$
или $$4 x^3 + 4y^3 = 4z^3$$
В итоге, от чего мы пытались уйти в поисках противоречия, к тому и вернулись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение09.08.2015, 10:31 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Alexis_11 ! Благодарю за оперативный точный ответ, который по существу закрыл тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение30.08.2015, 12:12 


27/03/12
449
г. новосибирск
1. Пусть существуют натуральные, попарно взаимно простые числа $x,y,z $,

удовлетворяющие уравнению

$x^3 + y^3-z^3 =0\engo (1)$, и пусть для определенности

$(z ,3) = 3$, а y- четное число.

2. Очевидно, найдутся такие натуральные числа $z_1$ $x _1$, что

$x_1^2 +y^2 -z_1^2 = 0\engo(2)$, где $y = y_1y_2$

из(1) благодаря формулам Абеля $y_1^3 = z-x$, а $y_2^3 =z^2 + z x +x^2$.

[$y = 2pq$, а $z_1 = p^2 +q^2$ и $x_1 = p^2-q^2$, где

(p и q) - числа разной четности (вариант 1)].


3. Пусть $y_1 = y_1'y_1''\engo(3)$ и $y_2 = y_2'y_2''\engo(4)$

4. Из (2) с учетом (3) и (4) следует

$(y_1'y_1''y_2'y_2'')^2 = (z_1-x_1)(z_1 +x_1)$.

Пусть для определенности

$z_1-x_1 = (y_1'y_2')^2'$, отсюда $z_1 = (y_1'y_2' )^2+ x_1$, тогда с

учетом этого равенство (2) будет

$ (y_1'y_1''y_2'y_2'')^2 + x_1^2 -[( y_1'y_2' )^2+ x_1]^2 = 0$, отсюда после

раскрытия скобок и сокращения на $( y_1'y_2' )^2$ имеем

$(y_1''y_2'')^2 = 2x_1 + ( y_1'y_2' )^2\engo(5)$.

Так как y число четное, то одно из чисел $(y_1''y_2'')^2$

или

$(y_1'y_2' )^2$

число четное, а это из (5) невозможно , так как в этом случае части равенства

(5) будут разной четности.



Если оба числа: $(y_1''y_2'')^2$ и $(y_1'y_2' )^2$ четные, то

$2x_1$ должно делиться как минимум на 4, что невозможно, так как $x_1$

число нечетное.

Приходим в обоих случаях к противоречию.

Мы рассмотрели вариант, когда число $y = 2pq$ делиться как минимум на 4, тем самым обеспечивается разная четность чисел p и q.

Теперь следует рассмотреть вариант, когда числа p и q

нечетные. Продолжение следует…

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение30.08.2015, 18:05 


10/08/11
671
vasili в сообщении #1049246 писал(а):
4. Из (2) с учетом (3) и (4) следует

$(y_1'y_1''y_2'y_2'')^2 = (z_1-x_1)(z_1 +x_1)$.

Уважаемый vasili ! Оба выражения в скобках правой части четные, поэтому дальнейшие определения не верны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение01.09.2015, 04:16 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Lasta! Я согласен, так как $z_1$ и $x_1$ числа нечетные. А потому следует дополнительно рассмотреть вариант, когда $z_1-x_1$ делиться как минимум на $2^3$, а $z_1 + x_1$ делиться на 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение02.11.2015, 07:27 


27/03/12
449
г. новосибирск
Еще одно размышление......
1. Пусть натуральные попарно взаимно простые числа $x,y,z$ удовлетворяют уравнению

$x^3 + y^3-z^3 = 0\engo(1)$

и пусть одно из этих чисел кратно 3 (2 случай ВТФ для $n=3$).

2. Пусть существует такое простое число $P > 3$, что

$(xyz, p) = 1$.

3. Составим сравнения по модулю P

Пусть

$z^2 - f_1xy\equiv 0\mod P\engo(2)$,

$x^2 + f_2zy\equiv 0\mod P\engo(3)$,

$y^2 + f_3zx\equiv 0\mod P\engo(4)$ где

$f_1, f_2.f_3$ - наименьшие натуральные вычеты приведенной системы по модулю P.

4. Умножим (2) на z, (3) на x и (4) на y получим

$z^3 - f_1xyz\equiv 0\mod P\engo(5)$,

$x^3 +f_2zyx\equiv 0 \mod P\engo(6)$,

$y^3 + f_3zxy\equiv 0\mod P\engo(7)$.

Сложим сравнения (6) и (7) и, из полученной суммы вычтем (5)

$x^3 + y^3-z^3 + z x y (f_1 + f_2 + f_3)\equiv 0\mod P$,

отсюда благодаря (1)

$(f_1 + f_2 + f_3)\equiv 0\mod P\engo(8)$.

5. После переноса в левые части слагаемые, содержащие множители $f_i $,

перемножим (5) (6) и (7), получим:

$z^2x^2y^2\equiv f_1xy f_2zy f_3zx\mod p$, отсюда

$f_1f_2f_3\equiv 1\mod P\engo(9)$.


Рассмотрим существование вычетов $f_1, f_2.f_3$, удовлетворяющих условиям (8) и (9),

в приведенных системах по модулю $P = 6n + 1$ и по модулю $P = 6n + 5$.
Вспомогательное Утверждение I.

6. В приведенной системе наименьших натуральных вычетов по модулю простого числа

$P = 6n + 1$ имеются три вычета

$f _1$, $ f _2$, $ f _3$ такие, что

$ f _1 + f _2 + f_3\equiv 0\mod P$ и

$ f _1 f _2 f _3\equiv 1 \mod P$.

При этом один из этих вычетов равен 1.

А два других равны соответственно

$\frac{p-1}{2} + r$,

$\frac{p-1}{2} -r$, где

r - натуральное число.

Тогда сравнение (8) будет справедливо

$ f _1 + f _2 + f_3 = 1 +[\frac{p-1}{2} +r] +[ \frac{p-1}{2}- r] \equiv 0\mod P$

Пусть для определенности $ f _1 = 1$.

И пусть

$ f _2 = \frac{p-1}{2} + r\engo(10)$, а

$ f _3 = \frac{p-1}{2}- r\engo(11)$,

тогда

$f_1 f _2 f _3 = [\frac{p-1}{2} + r][ \frac{p-1}{2}- r] =[\frac{p-1}{2}]^2-r^2 = kP + 1$,

отсюда равенство

$p^2 -2P + 1 -4r^2 = 4kp + 4$

или сравнение

$4r^2 +3\equiv 0\mod p\engo(12)$.

Ниже покажем на примерах, что существует свое число r для каждого модуля $P =6n +1$,

а значит, существуют свои вычеты $f_1$ и $f_2$ для каждого модуля $P =6n +1$.



Пусть $P = 7$, тогда $r = 1$.

Пусть $P = 13$, тогда $r = 3$.

Пусть $P = 19$, тогда $r = 2$.

Пусть $P = 31$, тогда $r = 10$.

Пусть $P = 37$, тогда $r = 8$.

Пусть $P = 43$, тогда $r = 15$.
………………………….
………………………….
Пусть $P = 73$, тогда $r =28$.
…………………………
…………………………
Пусть $P = 103$, тогда $r = 5$.
……………………………………..


Вспомогательное Утверждение I I..

7.. В приведенной системе наименьших натуральных вычетов по модулю

$P =6n +5$ отсутствуют три вычета, удовлетворяющих одновременно условиям (8) и (9).

Надеюсь на помощь участников форума в доказательстве Утверждения II.

Вывод:

Сравнения (2), (3) и (4) составленные по модулю $P =6n +5$ противоречивы.

Пришли к Противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение03.11.2015, 10:51 


27/03/12
449
г. новосибирск
Прошу прощения у участников форума. Утверждение II и Вывод в предыдущем сообщении ошибочны.
Пример:
Пусть $P = 17$, тогда имеем $f_1 = 10$, $f_2 = 3$ и $f_3 = 4$, которые удовлетворяют условиям (8) и (9).

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение28.11.2015, 18:35 


27/03/12
449
г. новосибирск
Размышление……… от 28.11.2015 г.
1. Пусть натуральные попарно взаимно простые числа $x,y,z$ удовлетворяют уравнению

$x^3 + y^3-z^3 = 0\engo(1)$

2. Из бесконечного множества простых чисел, выберем такое простое число

$p =6n +1$, которое удовлетворяло бы, следующим условиям:

$(xyz, p) = 1$ и $(n, 3) = 1\engo (2)$.

[Простых чисел $6n +1$, где $(n,3) = 1$, бесконечно много. Достаточно положить

$n = 3x +2$,

где x пробегает натуральный ряд чисел,

и получить $6(3x + 2) +1 = 18x + 13$ -

арифметическую прогрессию. Так как (18,13) = 1, то такая арифметическая прогрессия,

согласно теореме Дирихле, содержит бесконечно много простых чисел]

3 Для поиска противоречия в равенстве (1) будем использовать метод сравнения Гаусса,

где в качестве модуля возьмем выбранное нами простое число $p =6n +1$.

4. В совокупности $R = (1,2,3,….,(p-1))$ наименьших натуральных вычетов по модулю p,

найдутся такие вычеты $f_1,f_2,f_3$ и $r_1,r_2,r_3$, что будут справедливы сравнения:

$z^2-f_1xy\equiv 0\mod p\engo(3)$,

$x^2 +f_2zy\equiv 0\mod p\engo(4)$,

$y^2 + f_3zx\equiv 0\mod p\engo(5)$,

$r_1z\equiv x\mod p\engo(6)$,

$z\equiv r_2y\mod p\engo(7)$,

$r_3x\equiv -y\mod p\(8)$.

5. Отметим некоторые свойства совокупности трех чисел $(f_1,f_2,f_3)$

5.1.Умножим сравнение (3) на z , сравнение (4) на x, а сравнение (5) на y, получим

$z^3-f_1zxy\equiv 0\mod p\engo(9)$,

$x^3 +f_2zxy\equiv 0\mod p\engo(10)$,

$y^3 + f_3zxy\equiv 0\mod p\engo(11)$.

Из суммы двух сравнений (10) и (11) вычтем сравнение (9) получим

$x^3 + y^3 -z^3 + z x y (f_1 + f_2 +f_3)\equiv 0\mod p$, отсюда с учетом (1) имеем

$f_1 + f_2 + f_3\equiv 0\mod p\engo(12)$

5.2, Преобразуем сравнения (3), (4) и (5) , перенося вторые слагаемые из левой части в

правую часть и, перемножая все три, полученных сравнения имеем

$z^2x^2y^2\equiv f_1f_2f_3z^2x^2y^2\mod p$, отсюда

$f_1f_2f_3\equiv 1\mod p\engo(13)$.

Таким образом, совокупность вычетов $(f_1,f_2,f_3)$ обладает свойствами, отраженными

в сравнениях (12) и (13).

6. Вспомогательное Утверждение:

В совокупности {R} существует только одна тройка вычетов $(f_1,f_2,f_3)$,

удовлетворяющих условиям, (12) и (13).

При этом 2(два) вычета, из трех указанных, принадлежат показателю 3 по модулю p, а

один вычет равен 1.


7.Пусть для определенности

$f_1 = 1$,

$f_2^3\equiv 1\mod p\engo(14)$, а

$f_3^3\equiv 1\mod p\engo(15)$.

8. Пусть g– первообразный корень по модулю p , тогда

$g^{p-1}\equiv g^{6n}\equiv 1\mod p$,

Пусть

$f_2\equiv g^w_1\mod p$,

$f_3\equiv g^w_2\mod p$, тогда соответственно

$f_2^3\equiv g^{3w_1}\equiv g^{6n}\mod p$,

$f_3^3\equiv g^{3w_2}\equiv g^{6n}\mod p$, отсюда соответственно получим

$3w_1\equiv 0\mod 6n$ и

$3w_2\equiv 0\mod 6n$, далее имеем

$w_1= (2n, 4n)$ и

$w_2 = (2n, 4n)$,
Пусть для определенности

$ind f_2 = 2n$, а

$ind f_3 = 4n$, тогда

$f_2\equiv g^{2n}\mod p\engo(16)$,

$f_3\equiv g^{4n}\mod p\engo(17)$,

8.Покажем, что вычеты $(1,f_2.f_3)$ удовлетворяют условиям (12) и(13)

$f_2^3 -1 = (f_2-1) (f_2^2 + f_2 +1) \equiv 0\mod p$, отсюда

$f_2^2 + f_2 +1 \equiv 0\mod p\engo(18)$,

$f_3^3 -1 = (f_3-1)(f_3^2 + f_3 +1) \equiv 0\mod p$, отсюда

$f_3^2 + f_3 +1\equiv 0\mod p\engo(19)$.

9, Из сравнения (18) вычтем сравнение (19) имеем

$(f_2 -f_3)(f_2 +f_3) + (f_2 -f_3) = (f_2 -f_3) (f_2 +f_3 + 1)\equiv 0\mod p$, отсюда

$f_2 +f_3 + 1\equiv 0\mod p$, значит тройка вычетов $(1,f_2.f_3)$ удовлетворяет (12)

10, Возьмем произведение вычетов $(1,f_2.f_3)$ с учетом (16) и (17)

$1f_2f_3 \equiv g^{2n}g^{4n}\equiv 1\mod p$, значит тройка вычетов $(1,f_2.f_3)$

удовлетворяет (13).


11.Составим таблицу возможных комбинаций из 3-х вычетов, принадлежащих {R} и

удовлетворяющих условию (12), приняв один из вычетов равный 1, а два других таких,

что бы они не повторялись в других комбинациях.
И так
$1 + 2 + [(p_1)-2]\equiv 0\mod p$,
$1 + 3 + [(p-1) -3]\equiv 0\mod p$,
$1 + 4 + [(p-1)- 4]\equiv 0\mod p$,
…………………………………….,
$1 + f_2 + f_3\equiv 0\mod p$,
…………………………………..,
$1 + f_i +[(p-1) -f_i]\equiv 0\mod p$,
……………………………………….,
………………………………………..,
$1 + [\frac {p-1}{2} -1] + [(p-1)- \frac {p-1}{2}]\equiv 0\mod p$,

$1 + [\frac {p-1}{2}] + [\frac {p-1}{2}]\equiv 0\mod p$,
.

где $f_i $ пробегает от 2 до $\frac{p-1}{2}$ включительно.

Таким образом, мы получили $\frac{p-3}{2}$ комбинации (по 3-и вычета в каждой),

удовлетворяющих условию (12).

А есть ли среди этих комбинаций хоть одна тройка вычетов (кроме $(1,f_2.f_3)$ ), удовлетворяющая условию(13)?

Чтобы ответить на этот вопрос перемножим три вычета $(1,f_i,  [(p-1) -f_i)]$ и сравним с 1 по модулю p

$1f_i[(p-1)-f_i]\equiv 1\mod p$, отсюда

$(f_i)^2 + f_i + 1\equiv 0 \mod p$, а это значит

$(f_i)^3\equiv 1\mod p$, но количество вычетов принадлежащих 3 по модулю P только

$\varphi(3) = 2$, а это найденные нами вычеты $f_2$ и $f_3$., удовлетворяющие

условию(13). Поэтому нет ни одной другой комбинации (по 3-и вычета в каждой), из

$\frac{p-3}{2}$ , [кроме $(1,f_2.f_3)$], удовлетворяющей условию (13).


12. Допустим теперь, что . существуют три вычета $f_j > 1$, $f_r >1$ $f_s >1$

принадлежащие {R}, такие, что

$f_j + f_r + f _s\equiv 0\mod p\engo(21)$ и

$f_jf_rf_s\equiv 1\mod p\engo(22)$.

Из сравнения (21) следует, что

$f_j \equiv-(f_r + f_s)\mod p\engo(23)$, тогда сравнение (22) с учетом (23) будет

$-(f_r + f_s)f_rf_s -1\equiv 0\mod p$, отсюда

$ 1  + (f_r)^2f_s + f_r(f_s)^2\equiv 0\mod p$.

Пусть $(f_r)^2f_s\equiv f_k\mod p\engo(24)$, тогда

$f_r(f_s)^2\equiv (p-1)-(f_r)^2f_s\equiv (p-1) -f_k\mod p$, а с учетом этого и (24) получим

сравнение

$1 + f_k + [(p-1) -f_k]\equiv 0\mod p$, (одно из сравнений п.11) которое имеет

единственное решение, что показано выше (п.11), а именно:



$f_{k_1} = f_2$ и $f_{k_2} = f_3$,

13. Таким образом нами доказано Вспомогательное Утверждение.

14. Теперь запишем сравнения (3), (4) и (5) с учетом, того, что

$f_1 = 1$,

$f_2\equiv g^{2n}\mod p$, а

$f_3 \equiv g^{4n}\mod p$.

$z^2 -xy\equiv 0\mod p\engo(25)$,

$x^2 + g^{2n}zy\equiv 0\mod p\engo(26)$,

$y^2 +g^{4n}zx\equiv 0\mod p\engo(27)$.

15. Перемножая сравнения (6) и (7) получим

$r_1z^2\equiv r_2xy$, отсюда с учетом (25) имеем

$r_1 = r_2\engo(28)$.

16. Рассмотрим сравнение (26) с учетом (6)

$(r_1z)^2  +  g^{2n}zy\equiv 0\mod p$, после сокращения на z

$(r_1)^2z + g^{2n}y\equiv 0\mod p$, отсюда с учетом (7)

$(r_1)^2r_2y + g^{2n}y\equiv 0\mod p$, после сокращения на y и учитывая (28) имеем

$ g^{2n}\equiv- r_1^2r_2\equiv- r_1^3\mod p\engo(29)$.

17, Пусть $r_1\equiv g^w\mod p$, тогда из (29) следует

$(r_1)^3\equiv g^{3w}\equiv (-1) g^{2n}\mod p$ , так как $(-1)\equiv g^{3n}\mod p$, то

$g^{3w}\equiv g^{5n}\mod p$, отсюда

$3w\equiv 5n\mod 6n$, что не возможно, так как $5n$ не делиться на 3,

[$(n, 3) =1\engo(2)$], а правая часть сравнения и модуль делятся на 3.

Пришли к Противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение25.12.2015, 11:10 


27/03/12
449
г. новосибирск
К сожалению не получил отклик участников Форума на мои Размышления ….от 28.11.2015 г. и потому предлагаю размышления на частный случай ВТФ.

Восприняв, Уважаемого Phisic BGA, рассуждения о «приложении»

треугольных чисел к доказательству ВТФ для $n =3$, предлагаю

доказательство частного случая ВТФ для $n = 3$, а именно: частного случая,

когда $z = y + 1$.

1.И так пусть существуют натуральные, попарно взаимно простые, числа

$x,y,z$, удовлетворяющие уравнению $x^3 + y^3 - z^3  = 0\engo(1)$

и пусть $z = y +1\engo(2)$ и $(z, 3) = 3\engo(3)$, тогда (1) с учетом (2)

запишем, как предложено Phisic BGA

$(y + 1)^3 -y^3 = x^3\engo(4)$.


2. Рассмотрим сумму и разность соседних треугольных чисел

$< x_1 + 1 >$ и $< x_1 >$.

2.1. $$< x_1 + 1 >   +  < x_1 > =\frac{(x_1 +1)(x_1 + 2)}{2}\ + \frac{x_1(x_1 + 1)}{2}\ =  

=(x_1 + 1)^2\engo(4)$$

2.2. $$< x_1 + 1 >   -  < x_1 > =\frac{(x_1 +1)(x_1 + 2)}{2}\ -\frac{x_1(x_1 + 1)}{2}\ = 

=(x_1 + 1)\engo(5)$$

3. Перемножим равенства (4) и (5) получим

$(< x_1 + 1 >)^2  - (< x_1 > )^2  = (x_1  +  1 )^3$ .

4.Пусть $x_1$ пробегает натуральный ряд чисел, тогда среди множества

чисел $x_1 + 1$ должно находиться и число x из равенства (4).

И мы вправе записать равенство, для не которого фиксированного $x_1$

$(< x_1 + 1 >)^2  - (< x_1 > )^2  = x^3\engo(6)$, а благодаря (4) и равенство

$(y+ 1)^3 - y^3 = x^3\engo(7)$.

5. Из равенств (6) вычтем равенство (7) и сгруппируем правую часть нового

равенства

$(< x_1 + 1 >)^2  - (y + 1)^3 = (< x_1 > )^2 -y^3 \engo(8)$

Известно, что

$(<m+1>)^2 = [\frac{(m+1)(m +2)}{2}]^2 =1^3 + 2^3 + 3^3 +….+ (m  +1)^3$.

5.1. С учетом этого левую часть (8) запишем

$$(< x_1 + 1 >)^2  - (y + 1)^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + …. +(x_1 - 1)^3 +  x_1^3 +                       

+(x_1 + 1)^3 -y^3$$.

Пусть $M = 1^3 + 2^3 + 3^3 + …. +(x_1 -1)^3$, тогда

$(< x_1 + 1 >)^2  - (y + 1)^3 = M +  x_1^3 + (x_1 + 1)^3 -(y + 1)^3\engo(9)$.

5.2. А правая часть (8) будет

$$(< x_1 > )^2 -y^3 =1^3 + 2^3 + 3^3 + …. + (x_1 - 1)^3 +  x_1^3 - y^3$$.

$$(< x_1 > )^2 -y^3 = M +  x_1^3 -y^3\engo(10)$$.

6. Благодаря (8) равенства (9) и (10) равны, т.е.

$ M +  x_1^3 + (x_1 + 1)^3 -(y + 1)^3 = M +  x_1^3 -y^3$, отсюда

$x_1^3 + (x_1 + 1)^3 -(y + 1)^3 = x_1^3 -y^3\engo(11)$. преобразуем

$$x_1^3  + (x_1- y)[(x_1 +1 )^2 + (x_1 +1)(y +1) + (y +1)^2] =

= (x_1- y)(x_1^2 +x_1y + y^2)$$, еще раз преобразуем, перенося слагаемые из

правой части в левую часть

$$x_1^3 + (x_1- y)[x_1^2 +2x_1 +_1 + x_1y + x_1 + y +1 + y^2 +2y + 1 -x_1^2-    

-x_1y- y^2] = x_1^3 + 3(x_1- y)(x_1 + y + 1) = 0$$, так как

$y > x_1$, то полученное равенство $x_1^3 + 3(x_1- y)(x_1 + y + 1) = 0$

запишем так

$x_1^3 -3(y- x_1)(x_1 + y + 1) =0$ или

$3(y- x_1)(x_1 + y + 1) = x_1^3\engo(12)$

[Если $ x_1 > y$, то равенство $x_1^3 + 3(x_1- y)(x_1 + y + 1) = 0$ очевидно не справедливое.]

АНАЛИЗ равенства (12)

1.Из (12) очевидно следует, что

$(x_1, 3) = 3$ и благодаря (2) $[(y-x_1), 3] = 1$

2. Пусть

$y- x_1 = p_1^{m_1}p_2^{m_2}…P_i^{m_i}…p_s^{m_s}\engo(13)$, где

$(p_i, 3) = 1$

3.Очевидно из (12) следует, что число $x_1^3$ должно делиться на

$y- x_1 = p_1^{m_1}p_2^{m_2}…P_i^{m_i}…p_s^{m_s}$, а это значит

что числу $x_1$ принадлежат как минимум в первой степени делители

$p_i$,т.е.

$x_1 =  k p_1p_2….p_i….p_s\engo(14)$, где $(k, 3) = 3\engo(14A)$.

4. Из (13) с учетом (14) следует

$y = (k + 1) p_1p_2….p_i….p_s$, тогда (13) будет

$$y-x_1 =(k +1) p_1p_2….p_i….p_s - k p_1p_2….p_i….p_s =                                            

= p_1p_2….p_i….p_s\engo(15)$$

5. Рассмотрим $x_1 + y + 1$ --- множитель левой части (12), с учетом (14) и (15)

$$x_1 + y + 1 = k p_1p_2….p_i….p_s + (k + 1) p_1p_2….p_i….p_s  + 1 =

= (2k + 1 ) p_1p_2….p_i….p_s + 1\engo(16) $$.

6. Запишем (12) с учетом (14), (15) и (16)

$$3 p_1p_2….p_i….p_s[(2k + 1 ) p_1p_2….p_i….p_s + 1] = 

= (k p_1p_2….p_i….p_s)^3\engo(17)$$

7. Если $p_1p_2….p_i….p_s > 1$, то очевидно левая часть (17) не делится

на $(p_1p_2….p_i….p_s)^3$

приходим к Противоречию.

8. Если $p_1p_2….p_i….p_s = 1$ , тогда (17) будет

$3(2k + 1 + 1) =  6(k + 1) = k^3$, левая часть полученного равенства, учитывая

условие (14A) - [$(k, 3) = 3$], не делится на $k^3$.

Пришли к противоречию.

Частный случай ВТФ для n = 3, когда $z = y + 1$ доказан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение25.12.2015, 14:41 


03/02/12

530
Новочеркасск
Об обозначениях - в обрамлении знаков сравнения - это что? Порядковый номер треугольного числа?
vasili в сообщении #1085705 писал(а):
2. Рассмотрим сумму и разность соседних треугольных чисел

$< x_1 + 1 >$ и $< x_1 >$.

2.1. $$< x_1 + 1 >   +  < x_1 > =\frac{(x_1 +1)(x_1 + 2)}{2}\ + \frac{x_1(x_1 + 1)}{2}\ =  

=(x_1 + 1)^2\engo(4)$$

2.2. $$< x_1 + 1 >   -  < x_1 > =\frac{(x_1 +1)(x_1 + 2)}{2}\ -\frac{x_1(x_1 + 1)}{2}\ = 

=(x_1 + 1)\engo(5)$$


Что касается этого:
vasili в сообщении #1085705 писал(а):

$3(y- x_1)(x_1 + y + 1) = x_1^3\engo(12)$

1.Из (12) очевидно следует, что

$(x_1, 3) = 3$ и благодаря (2) $[(y-x_1), 3] = 1$

то для уточненного уравнения для разности соседних кубов:
$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$
существует представление, аналогичное вашему (12):
$3(6m-6n)(6m+6n+1)=(6n)^3$
Однако, никаких, по-крайней мере, очевидных, определяемых элементарными методами и уж тем более, связанных с четностью или делимостью на 3, противоречий оно не содержит.
Понятно только, что $3(6m-6n)$ и $(6m+6n+1)$ должны быть кубами взаимно простых чисел...

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение25.12.2015, 19:01 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый alexo! Равенство (12) содержит число $x_1$, которое не является решение ВТФ, а у Вас все числа принадлежат уравнению ВТФ. По форме похожи, а по содержанию разные равенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение26.12.2015, 10:46 


03/02/12

530
Новочеркасск
Ладно.. Тогда так - у вас в левой и правой части (4) и (5) $x_1+1$ - одни и те же?..
Если нет, тогда как их интерпретировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение26.12.2015, 18:48 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый alexo! Пока я Вас не понимаю.

-- 26.12.2015, 21:53 --

Уважаемый alexo2!Пока я Вас не понимаю.Приношу извинение за не не точное обращение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 172 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group