2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение18.10.2015, 15:18 
Аватара пользователя


17/09/15
28
Сколько цифр в числе $3^{333}$ ?
Первая оценка очевидна: $3^{333}=3\cdot9^{166}<3\cdot{10^{166}}$. Сверху - 167 цифр. Для начала хорошо. Точное количество - 159 цифр.
Теперь снизу. $3^{333}=27^{111}>{10^{111}}$. Снизу 112 цифр. Далековато.
Для сужения границ находим подходящие места в последовательности степеней
$3^{21}=10460353203=1.04...\cdot10^{10} \\ 333=21\cdot16-3 
 \\3^{333}>10^{{10}\cdot16}/27$ .
Снизу $10\cdot16+1-2=159$ цифр.
$3^{23}=94143178827=0.94...\cdot10^{11}  \\333=23\cdot14+11\\
 3^{333}<10^{{11}\cdot14}\cdot3^{11} \\{3^{11}=177147} $
Сверху $11\cdot14+5=159$ цифр.
Дальше, например для $3^{3333}$, вычислений слишком много. Нет ли других способов?
Как решать подобные задачи четырьмя действиями арифметики, не употребляя явно логарифмы? И притом более результативно.
Прошу показать технику на разумно простом примере. Вообще, как сравнивать натуральные степени натуральных чисел в неочевидных случаях.
Возможно, со степенями двойки $2^{1000}$ справиться легче?

Вопрос переработан с использованием указаний Dmitriy40.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в числе 3^333 ?
Сообщение18.10.2015, 15:45 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
Если весьма примерно, то можно вспомнить $2^{10}=1024 \approx 1000$, а $3^2=9 \approx 10$ (или $3^9=19683 \approx 20000=2^1 \cdot 10000$), что даёт возможность оценить количество цифр в большой степени.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.10.2015, 08:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

sartok
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

Длина числа - это целая часть его десятичного логарифма.
sartok в сообщении #1063949 писал(а):
Как решать подобные задачи четырьмя действиями арифметики, не употребляя явно логарифмы?
По сути это бессмысленно, только если Вы не занимаетесь обфускацией.
sartok в сообщении #1063949 писал(а):
И притом более результативно.
Тогда надо начать с асимптотики алгоритмов расчета. Хотя это тоже мало что даст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение20.10.2015, 12:23 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Deggial в сообщении #1064622 писал(а):
Длина числа - это целая часть его десятичного логарифма.
...плюс единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение20.10.2015, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1064661 писал(а):
Deggial в сообщении #1064622 писал(а):
Длина числа - это целая часть его десятичного логарифма.
...плюс единица.


Два университетских выпускника, давно ушедших в бизнес, сидят в ресторане. Разговор заходит о том, сколько они ненужного изучали.
- Да что в университете, вот, в школе про интегралы рассказывали! Ведь учили, и никто ведь не помнит!
- А может, и помнят! Спорим на $100? - говорит второй, незаметно отзывает официантку в сторону и предлагает заработать $10, всего лишь, когда ей зададут вопрос, ответить "треть икс куб". "Как-как? Третик скуп?" - уточняет официантка. "Нет, треть икс куб!". Потом он возвращается к столу.
- Ну, давай кого угодно спросим, ну, хоть интеграл от икс-квадрат! Девушка, подойдите! Чему равен интеграл от икс-квадрат по дэ икс?
- Треть икс куб! - отвечает барышня.
Первый достаёт деньги рассчитаться, барышня продолжает:
- Плюс константа!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение20.10.2015, 13:58 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Задача несколько напоминает «давайте скажем чего-нить про степень, не употребляя слов «основание» и «показатель»». Что-то типа пропаганды мокроступов вместо импортных сапогов.
Если не хочется рыться в таблицах логарифмов, можно, к примеру, построить цепную дробь для $\log_{10}3$. Это, кстати, даст и знакопеременный ряд, то бишь кучу оценок сверху и снизу. Подобрать достаточно близкую пару. И всё исключительно умножением и сложением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение20.10.2015, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Хм... Я кусок прошлого лета потратила на подобные вычисления :oops: (с цепнями дробями тоже)
Пыталась написать методичку для школьников... Несколько увлеклась, не спорю, увлеклась... Потом посмотрела на все это здравым взглядом... и выбросила в Корзину. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение21.10.2015, 03:09 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток

(Оффтоп)

(Жадно) А как часто и куда именно вы выносите свою Корзину?
Ну, как сказать. Бесполезных знаний не бывает. Массовая методичка для школьников — может и бесполезна; а для личного употребления интересующимся — почему б и нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение22.10.2015, 11:29 
Аватара пользователя


17/09/15
28
Дополнение.
Итак, для $3^{333}$ получена оценка количества цифр, 159<159<160.
Что получится при тех же опорах для $3^{3333}$ ? Это число имеет длину 1591.
$3333=21\cdot158+13 \\ 3^{3333}>10^{10\cdot158}\cdot1594323 \\ 10\cdot158+1+6=1587$

$3333=23\cdot145-2 \\ 3^3333<10^{11\cdot145}/9 \\ 11\cdot145+1-1=1595$

Тут 1587<1591<1595

И всё же эта дорога увела вбок от исходного вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?
Сообщение02.11.2015, 13:32 
Аватара пользователя


17/09/15
28
Теперь $3^{33333}$, тут добавлена ещё одна цифра. $33333\cdot \log3=15903,8827836$
$3^{21}=10.460353203\cdot10^9\,\,\,\,\,   3^{23}=9.4143178827\cdot10^{10}$

$33333=21\cdot1587+6 \\ 3^{33333}>10^{10\cdot1587}\cdot729 \\ 10\cdot1587+1+3=15874$

$3333=23\cdot1449+6 \\ 3^3333<10^{11\cdot1449}\cdot729 \\ 11\cdot1449+1+3=15943$

Тут 15874<15904<15943
С последнего знака ушли, точность завяла.
Но на поставленный вопрос ответа никто не дал, может тут намёк?
iifat в сообщении #1064677 писал(а):
можно, к примеру, построить цепную дробь для $\log_{10}3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group