2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение асимптотики функции, заданной параметрически
Сообщение19.10.2015, 09:44 
Аватара пользователя


28/05/15
71
Есть следующая задача.

Дано $p \to \infty$, $s = C_{p^4}^{p}$, $n = C_{p^4}^{p^2}$. Нужно найти представление $n(s)$ в виде $n(s) = (e + o(1))^{f(s)}$ (определить функцию $f(s)$, константа нам уже сказана, какая будет).

Каким образом такую задачу можно решать ? Я нашёл асимптотики $s$ и $n$ как функций от $p$ (Стирлинг и известные асимптотика для биномиальных коэффициентов):

$s \sim \frac{p^{3p}e^p}{\sqrt{2\pi p}}$

$n \sim \frac{p^{2p^2}e^{p^2}}{\sqrt{2\pi p^2}} \cdot e^{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2 p^2}}$

Теперь нужно как-то "перевыразить" $n$ через $s$, и тут у меня пока тупик.

Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь хорошую идею.

(Оффтоп)

PS. На самом деле тут не асимптотику нужно определить, формулировка задачи требует нахождения более слабого утверждения, чем асимптотика (потому то указанное представление и асимптотика это, конечно, не одно и то же), но я не знаю, как назвать это, поэтому назвал асимптотикой. Если кто знает, как лучше назвать тему - переименую (или модератор переименует).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение асимптотики функции, заданной параметрически
Сообщение19.10.2015, 09:57 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Во-первых, внимательно посмотрите предоставленные видеолекции ШАД по данной тематике, там много хорошего. И семинары посещайте/смотрите видео.
Если после этого идеи в голову сами не приходят - логарифмируйте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение асимптотики функции, заданной параметрически
Сообщение19.10.2015, 10:53 
Аватара пользователя


28/05/15
71
Прологарифмировал, упростил, получились следующие две эквивалентности:

$p \sim \frac{\ln s}{3 \ln\ln s}$

$p \sim \sqrt{\frac{\ln n}{\ln\ln n}}$

Что теперь с ними сделать пока не знаю, там $n (s)$ в явном виде не получается, только $\ln n(s)$, поэтому выражается только $p$. А экспоненту тут брать нельзя - она портит эквивалентность (в отличие от логарифма).

Пока думаю, может сейчас что-то пойму...

-- 19.10.2015, 10:55 --

Для $n$ получилось следующее:

$\ln n \sim \frac{2(\ln s)^2}{9 \ln\ln s}$

Но это логарифм, думаю, как его снять.

-- 19.10.2015, 11:03 --

Всё, похоже понял - нам то не асимптотика нужна, а лишь представление в виде $n(s) = (e + o(1))^{f(s)}$, то есть нужно фактически узнать, чему эквивалентен логарифм, поэтому тут получается, что

$f(s) = \frac{2(\ln s)^2}{9 e \ln\ln s}$

($e$ в знаменателе, так как нужно $n(s) = (e + o(1))^{f(s)}$, а не $n(s) = (1 + o(1))^{f(s)}$). Вроде верно, особенно меня интересует, корректно ли рассуждение с перекидыванием $e$ в знаменатель выражения для $f(s)$.

-- 19.10.2015, 11:10 --

Чуток проврался.

В знаменателе $e$ не должно быть, так как:

$n = (e + o(1))^{f(s)}$

$\ln n = f(s) \cdot \ln (e + o(1)) = f(s) \cdot (1 + o(1))$

Дело в том, что $\ln (e + o(1)) = 1 + o(1)$, а не $e + o(1)$

Вроде разобрался, спасибо.

-- 19.10.2015, 11:18 --

NSKuber в сообщении #1064295 писал(а):
Во-первых, внимательно посмотрите предоставленные видеолекции ШАД по данной тематике, там много хорошего. И семинары посещайте/смотрите видео.
Если после этого идеи в голову сами не приходят - логарифмируйте!


Про логарифмирование отличная идея, спасибо, что самое интересное - я уже применял этот приём в другой задаче (там нужна была асимптотика функции, обратной к заданной).

Там есть ещё несколько задач, которые я уже собирался поспрашивать, но сейчас попробую там логарифмами поиграться, наверняка большинство поддадутся )

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение асимптотики функции, заданной параметрически
Сообщение19.10.2015, 11:33 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
$f(s) = \frac{2(\ln s)^2}{9 \ln\ln s}$ - правильный ответ. Как я понял из последнего редактирования, его вы в итоге и получили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение асимптотики функции, заданной параметрически
Сообщение19.10.2015, 12:18 
Аватара пользователя


28/05/15
71
NSKuber в сообщении #1064311 писал(а):
$f(s) = \frac{2(\ln s)^2}{9 \ln\ln s}$ - правильный ответ. Как я понял из последнего редактирования, его вы в итоге и получили.


Да, спасибо за идею.

Важный вывод, который я сейчас вынес - при работе с асимптотиками биномиальных коэффициентов (да и факториалов тоже) прежде всего нужно попробовать логарифмом, из-за вида формулы Стирлинга это обычно очень полезно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group