2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение10.09.2015, 23:05 


14/04/15
187
Здравствуйте, объясните пожалуйста, как расставлять пределы интегрирования в кратных интегралах в полярной системе координат в порядке $rdrd\varphi$, то есть в том случае, когда $\varphi$ зависел от $r$, и приведите пожалуйста пример такой расстановки, то есть как менять пределы интегрирования при переходе от порядка $rd\varphi dr$
к $rdrd\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 01:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вы должны представлять себе область, по которой интегрируете, и знать, что кривые вида $r = a$ — окружности, концентрические полюсу, а кривые вида $\varphi = a$ — исходящие из него лучи.

После чего вы пересекаете область кривой с равными значениями одной координаты и смотрите, какие наибольшие и наименьшие значения на этом пересечении у другой. Может не повезти, и пересечение окажется несвязным множеством — тогда надо будет вместо одного интеграла брать два. Иллюстрации:

$\varphi$ зависит от $r$
Вложение:
angles-from-radius.png

$r$ зависит от $\varphi$
Вложение:
radii-from-angle.png

Действия тут абсолютно те же, что и в случае декартовых координат, да и вообще любых криволинейных координат. Специфика вся вверху поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 06:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Aiyyaa в сообщении #1052405 писал(а):
Здравствуйте, объясните пожалуйста, как расставлять пределы интегрирования в кратных интегралах в полярной системе координат в порядке $rdrd\varphi$, то есть в том случае, когда $\varphi$ зависел от $r$, и приведите пожалуйста пример такой расстановки, то есть как менять пределы интегрирования при переходе от порядка $rd\varphi dr$
к $rdrd\varphi$.

Совершенно не имеет значения, как обозначены переменные, для которых меняется порядок интегрирования. Если Вы умеете порядок $(x,y)$ менять на $(y,x)$, то больше ничего уметь не нужно. С $r$ и $\varphi$ все так же. Требуемую картинку можно рисовать для удобства и в прямоугольной системе координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Otta в сообщении #1052443 писал(а):
С $r$ и $\varphi$ все так же. Требуемую картинку можно рисовать для удобства и в прямоугольной системе координат.

С тем только уточнением, что если $r$ и $\varphi$ действительно происходят из полярной системы координат, надо быть осторожным, и ограничить картинку пределами $r>0,\quad 0\leqslant\varphi<2\pi$ (или другой интервал углов длиной $2\pi$).

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Munin в сообщении #1052489 писал(а):
Otta в сообщении #1052443 писал(а):
С $r$ и $\varphi$ все так же. Требуемую картинку можно рисовать для удобства и в прямоугольной системе координат.

С тем только уточнением, что если $r$ и $\varphi$ действительно происходят из полярной системы координат, надо быть осторожным, и ограничить картинку пределами $r>0,\quad 0\leqslant\varphi<2\pi$ (или другой интервал углов длиной $2\pi$).

Пришла беда, откуда не ждали!
Munin совсем рассвирепел, то запретил матрицы с отрицательным детерминантом :D , то сумел ввести объем во всех пространствах :D , теперь отменил полюс полярной системы координат! :D
Такими темпами скоро от математики мало что останется... :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Комментарий для Otta и ТС (уважаемый Brukvalub в невменяемом состоянии, чтобы вести нормальный диалог):

Я специально обдумал вопрос о включении точки $r=0$ в предлагаемую схему.
- Во-первых, при интегрировании по $r\,dr\,d\varphi$ это включение или исключение не влияет на результат.
- Во-вторых, при изображении области интегрирования на вспомогательном рисунке, специальное внимание к линии $r=0$ может отвлечь на несущественные детали и только зря запутать. Поэтому проще её сразу выбросить.

Жаль, что мне это не пришло в голову и касательно угла, когда я на автомате написал $0\leqslant\varphi<2\pi.$ Можно было бы с тем же успехом и $0<\varphi<2\pi.$

Кроме того, насчёт углов есть другая тонкость, куда большего практического значения. Бывают области в полярной системе координат, ограниченные несколькими линиями, причём одни эти линии соответствуют одному диапазону углов, а другие - другому. Например, $2+\sin(\varphi/2).$ (Здесь нужно указать, что область интегрирования - между внешней и внутренней линиями.)
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 15:15 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 !  Brukvalub, Munin, замечание за личные выпады.

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 20:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Munin в сообщении #1052489 писал(а):
С тем только уточнением, что если $r$ и $\varphi$ действительно происходят из полярной системы координат, надо быть осторожным, и ограничить картинку пределами $r>0,\quad 0\leqslant\varphi<2\pi$ (или другой интервал углов длиной $2\pi$).

Надо обратить внимание, что согласно стартовому посту, в одном порядке пределы интегрирования уже расставлены. Если так, то эта осторожность будет несколько излишней, - область интегрирования впишется в нужные пределы и без нее.

ТС может убедиться в этом сам.

То же касается и этого примера.
Munin в сообщении #1052527 писал(а):
Бывают области в полярной системе координат, ограниченные несколькими линиями, причём одни эти линии соответствуют одному диапазону углов, а другие - другому. Например, $2+\sin(\varphi/2).$ (Здесь нужно указать, что область интегрирования - между внешней и внутренней линиями.)

 Профиль  
                  
 
 Re: расставить пределы интегрирования в полярных координатах
Сообщение11.09.2015, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Otta в сообщении #1052664 писал(а):
Надо обратить внимание, что согласно стартовому посту, в одном порядке пределы интегрирования уже расставлены. Если так, то эта осторожность будет несколько излишней, - область интегрирования впишется в нужные пределы и без нее.

Я хотел дать не рыбу, а удочку - рецепт на будущее :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group