Цветовое пространство

[Sicker]

Munin в сообщении #1050418 писал(а):

А чистая - это с $i$ или без $i$?

Без)
Интересно, а на основании чего выбирают базис алгебры SU(2)? Ну кроме руководства коммутационными соотношениями(и связи с поворотами вокруг осей $x,y,z$ у SO(3))

-- 04.09.2015, 15:52 --

Munin в сообщении #1033454 писал(а):

Если у нас глюон типа $\lambda^1=\left(\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}\right),$ то он, испускаясь, превращает красный кварк в зелёный, а зелёный - наоборот, в красный.

Munin в сообщении #1049901 писал(а):

А какие будут комплексные экспоненты от этих матриц? Посчитайте.

А кстати, они никак не могут быть экспонентами от матриц Гелл-Мана, тк все экспоненты от матриц Гелл-Мана представляют собой унитарные трехмерные комплексные матрицы с единичным определителем, те они сохраняют длину вектора, а ваши матрицы, соответствующие глюонам, могут обнулять вектора.

[Munin]

Sicker в сообщении #1050426 писал(а):

Без)

А почему? Разве базис пространства матриц поменяется, если его элементы помножить на $i$?
(Ответ в Рубаков. Классические калибровочные поля. § 3.2, после задачи 16 и далее. Но постарайтесь сначала сами ответить.)

Sicker в сообщении #1050426 писал(а):

Интересно, а на основании чего выбирают базис алгебры SU(2)?

А на основании чего выбирают базис $\mathbb{R}^3$? В общем, см. там же.

-- 04.09.2015 15:59:33 --

Sicker в сообщении #1050426 писал(а):

А кстати, они никак не могут быть экспонентами от матриц Гелл-Мана, тк все экспоненты от матриц Гелл-Мана представляют собой унитарные трехмерные комплексные матрицы с единичным определителем, те они сохраняют длину вектора, а ваши матрицы, соответствующие глюонам, могут обнулять вектора.

Правильно. Тут я заврался чутка. Ну надо заменить нолик на единичку на диагонали.

[Sicker]

Munin в сообщении #1050441 писал(а):

Ну надо заменить нолик на единичку на диагонали.

На минус единичку(положительность определителя).
Но тогда это не матрица Гелл-мана.

-- 04.09.2015, 16:58 --

Munin в сообщении #1050441 писал(а):

А почему? Разве базис пространства матриц поменяется, если его элементы помножить на $i$?

Да, они вообще перестанут составлять группу SU(3) (мы сейчас не про алгебру говорим?)

[Munin]

Sicker в сообщении #1050462 писал(а):

Но тогда это не матрица Гелл-мана.

Да, я уже согласился.

Sicker в сообщении #1050462 писал(а):

мы сейчас не про алгебру говорим?

Про алгебру. Здесь - про алгебру.

[Sicker]

Munin в сообщении #1050480 писал(а):

Про алгебру. Здесь - про алгебру.

Но, причем здесь алгебра, если для изменения векторов цветов нужны глобальные, а не инфинизимальные преобразования?

[Munin]

post1049901.html#p1049901
Читать последние абзацы.

-- 04.09.2015 18:03:10 --

(Поправка: конечно, "перетекание" - это член в гамильтониане, а не в лагранжиане. Но они равны, с точностью до знака.)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1050485 писал(а):

инфинизимальные

Уже второй раз, придётся вмешаться. Инфинитезимальные. (Согласен, слово трудное. Я сейчас с первого раза перепутал в нём места у двух гласных.)

[Sicker]

Munin
Ну и? Интеграл же все равно выходит.

[Munin]

И?
Чего вы хотите, я не пойму?

[Sicker]

Munin
Ааа, мы недавно касались группы SU(2).
И вы говорили, что унитарные матрицы этой группы могут быть матрицами Паули, хотя у последних определитель $-1$.

[Munin]

Теперь самый момент заглянуть в подсказку.

[Sicker]

Munin
Те Матрицы паули, умноженные на $i$, суть те же самые матрицы Паули?

[arseniiv]

Они составляют базис эрмитовых матриц с нулевым следом именно в том смысле, что каждой из этих соответствует комбинация $z_1\sigma_1+\ldots$, где $z_i$ — комплексные. Так что насчёт сложения всё прекрасно — хоть на $i$ мы их умножай, хоть каждую на какое-то своё ненулевое комплексное число. Остаётся только умножение, и проще всего с ним разделаться, получив из новых матриц старые, что видно как.

Вместо матриц Паули можно рассматривать какой-то ортонормированный базис $(e_1, e_2, e_3)$ векторной части алгебры Клиффорда $C\ell_{3,0}(R)$, подалгебра $\langle1,I\rangle$ которой, где $I = e_1e_2e_3$, изоморфна $\mathbb C$. Здесь выполняются схожие соотношения:

$$\begin{array}{l} e_1e_1 = e_2e_2 = e_3e_3 = 1, \\ e_1e_2 = e_1e_21 = e_1e_2e_3e_3 = Ie_3, \ldots, \\ e_2e_1 = -e_1e_2, \ldots. \\ \end{array}$$

Из линейных комбинаций $e_i$ с «комплексными» коэффициентами вида $a + bI$ мы получим все элементы алгебры. И, как действительно можно видеть, порождаемая уже $\langle1,Ie_i\rangle$ алгебра изоморфна $\mathbb H$, но если мы не расстанемся с псевдоскаляром $I$, мы опять получим всю $C\ell_{3,0}(\mathbb R)$ целиком. Как-то так. Надеюсь, не сильно сумбурно.

[Munin]

Sicker в сообщении #1050520 писал(а):

Те Матрицы паули, умноженные на $i$, суть те же самые матрицы Паули?

Нет, другие, умноженные на $i.$ Вопрос только в том, называть их матрицами Паули, или не называть, и он, очевидно, яйца выеденного не стоит.

arseniiv
Надо только добавить, что если эрмитову матрицу умножить на $i,$ то она станет антиэрмитовой, и наоборот.

[Sicker]

Munin
А что насчет матриц, соответствующих глюонам? Как их считать?