Палиндромы, кратные 13

[Ktina]

Доказать, что для любого натурального $n\geqslant 3$ существует $n$-значный десятичный палиндром, кратный 13.
(УрТЮМ, обобщение)

[grizzly]

Идея доказательства.
Нам достаточно найти 13 различных палиндромов $\{a_i\}_{i=1}^{13}$, таких, что каждая цифра $(i+1)$-го палиндрома больше, чем соответствующая цифра $i$-го. Не вижу сложностей предъявить такой набор в явном виде для произвольного (для всех) $n$.

[lopkityu]

Пусть $ a=10^{n-1}+1, b=\sum\limits_{i=0}^{n-3}10^{i} $. Если хотя бы одно из них делится на 13, то все хорошо. Если же нет, рассматриваем числа вида $ a+10qb, 0\leq q\leq 9 $. Все они дают разные остатки при делении на 13, а значит найдутся два числа, сумма которых будет палиндромом, кратным 13.

-- 29.08.2015, 13:28 --

Слегка ошибся с набором чисел. Нужно брать $ a, a+10b, a+20b, a+30b, 2a+30b, 3a+30b, 4a+30b $, тогда сумма любых двух будет палиндромом.

-- 29.08.2015, 13:37 --

И разность тоже Это на случай, если таки найдутся два одинаковых остатка.

-- 29.08.2015, 13:56 --

И снова мимо: если взять $ n=8 $, то эти числа работать не будут

[grizzly]

Что-то моя идея выше не выглядит особенно убедительно. Попробую, пожалуй, без всяких идей явно указать такие палиндромы.
У нас будет 2 базовых палиндрома: 494 и 1001.
Тогда для чётных $n$ мы будем строить палиндром двукратным повторением палиндрома от $n/2$, а для нечётных будем брать палиндром от $(n+1)/2$ и тоже использовать двукратное повторение с суммированием двух средних цифр в одну. Например:
$n=5$: -- 49894
$n=6$: -- 494494
$n=7$: -- 1002001
$n=8$: -- 10011001
$n=9$: -- 498989894
$n=10$: -- 4989449894
...

Тут тоже вроде как и доказывать нечего

[Ktina]

grizzly
lopkityu
Всё гораздо проще!
Я думаю, что она на метле улетела что эту задачу в пятом классе вполне можно дать.

[grizzly]

Ktina в сообщении #1049100 писал(а):

Я думаю, что она на метле улетела что эту задачу в пятом классе вполне можно дать.

А что в моём последнем решении может быть труднодоступно для пятиклассника?

[Ktina]

-- 29.08.2015, 17:46 --

grizzly
Простите за нескромность, но мне кажется, что моё решение красивее.
Сколько будет 77 умножить на 13?
А 777?
А 7777?

Ах, да, ещё трехзначный подобрать нужно... ну так 494 и станет нашей паршивой дастырбеточкой, в смысле самкой барана.

[grizzly]

Ktina в сообщении #1049124 писал(а):

Простите за нескромность, но мне кажется, что моё решение красивее.

Насчёт красивее не поспоришь
А насчёт проще, я пока не сообразил, как до него должен додуматься пятиклассник.
Ход рассуждений, который приводит к моему решению понятен, я надеюсь, и вполне доступен / естественен для пятиклассника -- это несложная двухходовка. А можете поделиться наброском рассуждения, приводящего к Вашему решению?

[Ktina]

grizzly
Честно признаюсь, никаких рассуждений и не было, чистая интуиция.

[grizzly]

Ktina
Ничего не имею против, но, боюсь, Вы несколько преувеличили возможности детской интуиции

[DanilovV]

Из серии "как проверить калькулятор"
умножаем 91 на единички

11=1001
111=10101
1111=101101
11111=1011101

или 13 на семерки

[Ktina]

DanilovV


-- 29.08.2015, 23:41 --

grizzly в сообщении #1049142 писал(а):

Ktina
Ничего не имею против, но, боюсь, Вы несколько преувеличили возможности детской интуиции

Оригинальное условие задачи было здесь и звучало так:
"Назовем натуральное число палиндромом, если при перестановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется. Докажите, что существует 101-значный палиндром, делящийся на 13. "
Вот мне сразу и вспомнилось, что $1001=7\cdot 11\cdot 13=13\cdot 77$
Дай, — думаю, — на 777 умножу. В общем, просто повезло, такое редко бывает.

[grizzly]

Ktina в сообщении #1049194 писал(а):

В общем, просто повезло, такое редко бывает.

Ну нельзя так всё сваливать на одно везение :) Наблюдательность с привычкой подмечать всё интересное зачастую и лежит в основе такого везения.

[DanilovV]

Ktina
Это как

Цитата:

Назовем натуральное число палиндромом, если при перестановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется. Докажите, что существует палиндром, делящийся на 2100.

Палиндром заканчивающий нулями? Такое возможно? Наверно возможно, иначе никак.

[Shadow]

Ktina в сообщении #1049124 писал(а):

Ах, да, ещё трехзначный подобрать нужно... ну так 494 и станет нашей паршивой дастырбеточкой, в смысле самкой барана.

$494000\cdots 000494$ вроде делится на $494$ при любом количестве нулей