Н. Вавилов, перестановки

[Onix]

Есть такой учебник, называется Конкретная теория групп. Меня интересует доказательство, как можно любую перестановку представить в виде произведения независимых циклов. Суть там такая. Имеется перестановка $\pi$. Выберем два элемента $i$ и $j$ из множества $X$. Будем считать, что элементы связаны отношением эквивалентности, если $j=\pi^m(i)$. Отношение разбивает множество $X$ на классы эквивалентности $X=X_1\cup ... \cup X_n$. Поскольку классы не пересекаются, то все циклы вида $(i, \pi(i), ... , \pi^k(i))$ являются независимыми. Здесь $i$ представитель, а $k+1$ мощность класса. Дальше, поскольку каждый цикл действует только на своих носителей, не затрагивая другие элементы, то $\pi=\pi_1\pi_2...\pi_l$. Мне непонятна сама формула $\pi=\pi_1\pi_2...\pi_l$, откуда она взялась.

[Brukvalub]

Сначала попробуйте догадаться, что представляют из себя сомножители в правой части "непонятной" формулы. Ваши предположения?

[Onix]

Множители это суперпозиции циклов.

[Brukvalub]

Onix в сообщении #1046400 писал(а):

Множители это суперпозиции циклов.

Попробуйте выразиться точнее.

[Onix]

То есть всё произведение это суперпозиции циклов.

[alcoholist]

Onix

А чем отличаются $n$ и $l$?

[Onix]

alcoholist

Ничем не отличаются. Видимо я накрутил лишних обозначений.

-- 19.08.2015, 14:31 --

Хотя циклы из одного носителя ничего не меняют. Их же можно не учитывать в произведении.
А вот множество одноэлементное учитывать придется.

[Brukvalub]

Похоже, вы близки к пониманию.

[alcoholist]

Onix
Вопрос ув.Brukvalub
звучал "что такое $\pi_i$?"
Можете ответить?

[Onix]

Цикл, все носители которого принадлежат одному классу, а все элементы класса носители. Ничего лишнего там не содержится.

[Brukvalub]

Onix в сообщении #1046409 писал(а):

Цикл, все носители которого принадлежат одному классу, а все элементы класса носители. Ничего лишнего там не содержится.

Верно, думаю, что вы все уже поняли.

[Onix]

Нет, я не могу разобраться почему вся перестановка это произведние $\pi_1\pi_2...\pi_l$

[alcoholist]

А чему равно $\pi_i(x)$, если $x\in X_s$?

[Onix]

alcoholist

Ну это образ $x$. Образ то может быть любой из того же класса.

[alcoholist]

Onix
Так понятнее:

$$ \pi_i(x)=\left\{\begin{array}{ll} x,& x\not\in X_i\\ \pi(x), &x\in X_i\end{array}\right.\qquad\mbox{?} $$