2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение19.08.2015, 00:39 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На какое минимальное значение могут отличаться произведение двух наименьших собственных делителей и сумма двух наибольших собственных делителей натурального числа?
(собственные делители - это натуральные делители, отличные от 1 и от самого числа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение19.08.2015, 01:26 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
7

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение19.08.2015, 02:37 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: на 1.
(У числа 6.) :-)

Если дополнительно потребовать, чтобы пара наименьших собственных делителей и пара наибольших собственных делителей исходного числа были различными (т.е. чтобы исходное число имело не менее пяти делителей), то ответ 4 (у чисел 12 и 16).

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение19.08.2015, 14:17 


18/04/15
38
Пусть $ d_1<d_2<...<d_{k-1}<d_{k} $ - собственные делители числа $ n $. Если $ k=2 $, то их сумма и произведение, очевидно, не могут быть равны. Если же $ k>2 $, то $ d_{k}\geq d_1d_2 $ (в противном случае получим $ n<d_1^2d_2 $, что невозможно). Поэтому равенство невозможно и искомая разность не может быть меньше 1; это значение достигается для $ n=6 $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение20.08.2015, 00:13 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
lopkityu
hippie
У меня чуть иначе. Если исходное число нечётно, то все его делители нечётны. Но тогда сумма любых двух делителей чётна, а произведение нечётно. Таким образом, они не могут быть равны.
Если исходное число чётно, то наименьшие собственные делители - это 2 и некоторый делитель, назовём его $x$, а их произведение равно $2x$. Но если собственных делителей как минимум 3, то сумма двух наибольших уже больше, чем $2x$, а если собственных делителей ровно 2, то должно выполняться $x+2=2x$, откуда $x=2$, но он должен быть больше 2.
Противоречие.
Итак, равными они быть не могут, а значение 1, как уже упомянул hippie, достигается у числа 6.
hippie в сообщении #1046154 писал(а):
Если дополнительно потребовать, чтобы пара наименьших собственных делителей и пара наибольших собственных делителей исходного числа были различными (т.е. чтобы исходное число имело не менее пяти делителей), то ответ 4 (у чисел 12 и 16).

А как Вы это сделали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение20.08.2015, 12:13 


26/08/11
2057
Ktina в сообщении #1046423 писал(а):
А как Вы это сделали?
Возможны два варианта для собственных делителей:

$p,q,\cdots ,up,uq$, где $p<q$ - простые и, если число имеет более двух собственных делителей, тоесть $u>1$, то $u\ge p$

Тогда разность $u(p+q)-pq\ge p(p+q)-pq=p^2$. И наименьшая, конечно, при $u=p=2$ Тогда собственные делители числа: $2,q,\cdots, 4,2q$ - тоесть, число $12$

Второй вариант:

$p,p^2,\cdots u,pu$, причем $u\ge p^2$

Аналогично
$u(p+1)-p^3 \ge p^2$

Минимальная разность при $p=2,u=4$, или число 16

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение и сумма собственных делителей
Сообщение20.08.2015, 17:49 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group