2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 16:24 


25/08/11

1074
то есть верно, что $r_a+r_b \le r$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 21:28 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
sergei1961 в сообщении #1041274 писал(а):
то есть верно, что $r_a+r_b \le r$ ?

Помоему, как раз ноборот: $r_a+r_b=4R-r_c+r>r$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 22:04 


25/08/11

1074
А как тогда из равенства выше с пятью разными радиусами следует нужное? Мозги совсем от жары не работают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 22:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9113
Радиусы внешних окружностей больше $r$. Отсюда $r_a+r_b=4R+r-r_c<4R$. И уж тем более $r_a<4R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 22:25 


25/08/11

1074
Спасибо, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение30.07.2015, 12:10 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1041203 писал(а):
11. В остроугольном треугольнике докажите, что:
$$\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}\leq2$$

$a \ge b \ge c$

$b^2 +c^2 \ge a^2$ ( треугольник остроугольный)
$$LHS \le \left| \frac {a-b}{c} \right|+ \left |\frac {b-c}{a} \right| + \left | \frac {c-a}{b} \right | = $$
$$=\frac {a-b}{c} +\frac {b-c}{a}+\frac {a-c}{b}= \frac {(a-c)(ab-b^2+ac+bc)}{abc}=$$
$$=\frac {(a^2-c^2)(ab-b^2+ac+bc)}{abc (a +c)} \le \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{ac (a+c)} < 2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение30.07.2015, 21:10 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Интересно, как Вам последнее неравенство очевидно?
Я вижу только это:
$ \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{ac (a+c)}\leq \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{bc (b+c)}\leq \frac {(b+c)\sqrt{b^2+c^2}-b^2+bc}{c (b+c)}<2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение31.07.2015, 08:48 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1041513 писал(а):
Интересно, как Вам последнее неравенство очевидно?
Я вижу только это:
$ \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{ac (a+c)}\leq \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{bc (b+c)}\leq \frac {(b+c)\sqrt{b^2+c^2}-b^2+bc}{c (b+c)}<2$.

$\Leftrightarrow b^3+2a^2c+2ac^2 \ge b (a^2-c^2)+2 a^2c+2ac^2 > ab^2+abc+b^2c $

$(ba^2 \ge ab^2, 2a^2c\ge abc+ b^2c, -bc^2+2ac^2 > 0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение31.07.2015, 17:31 


03/03/12
1380
grizzly в сообщении #1041001 писал(а):
Напрашивающееся усиление уже будет трёхходовкой, наверное:
$$
2\sqrt{a^ab^b}\ge a^b+b^a.
$$

Технология составления такого неравенства понятна. Не поняла, есть ли для него стандартное доказательство. Я тоже по этой технологии состряпала неравенство. Но у него есть стандартное простое доказательство для более слабого варианта $a^2+b^2\ge a^ab^b$, $a+b=1$, $(a;b)> 0$ плюс условие для переменной (a) (не знаю, можно ли от него избавиться). Предлагаю найти условие, доказать неравенство и выяснить, верно ли оно без дополнительных условий на переменную (a).
Тогда для положительных $(a;b)$ при $a+b=1$ (плюс условие на переменную (a) из первого неравенства) верно ли неравенство:
$a^2+b^2\le 2a^ab^b$. (Это гипотетическое неравенство.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение01.08.2015, 11:16 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1041071 писал(а):
9. $a>0$, $b>0$. Докажите, что:
$$a^ab^b\geq\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^{\frac{a+b}{2}}$$


Перепишем неравенство виде $(0 < t < 0.5)$:

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t} \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$
$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t}= \frac{1}{2}\exp \left({\sum_{n=1}^\infty {\frac{(2t)^{2n}} {(2n-1)2n}}} \right) \ge \frac{1}{2} \left(1+2t^2 \right) \ge  \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение01.08.2015, 12:03 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sergic Primazon в сообщении #1041936 писал(а):
Перепишем неравенство виде $(0 < t < 1)$:

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t} \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

$(0.5-t)^{0.5-t}$? What is it?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение01.08.2015, 12:13 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1041950 писал(а):
Sergic Primazon в сообщении #1041936 писал(а):
Перепишем неравенство виде $(0 < t < 0.5)$:

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t} \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

$(0.5-t)^{0.5-t}$? What is it?


Делаем замену : $\frac{a}{a+b}=0.5-t$ ,$\frac{b}{a+b}=0.5+t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение01.08.2015, 15:56 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Also we can differentiate twice.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение01.08.2015, 17:20 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TR63 в сообщении #1041770 писал(а):
$a^2+b^2\ge a^ab^b$, $a+b=1$, $(a;b)> 0$

То бишь, нужно доказать, что $f(x)\geq0$, где $f(x)=\ln(2x^2-2x+1)-x\ln{x}-(1-x)\ln(1-x)$ и $0<x<1$.
$f'(x)=\frac{4x-2}{2x^2-2x+1}+\ln\left(\frac{1}{x}-1\right)$.
$f'(x)=0$, когда $x_1=0.128...$, $x_2=0.5$ и $x_3=0.871...$ и так как $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-} f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0$, то неравенство доказано.

TR63 в сообщении #1041770 писал(а):
Тогда для положительных $(a;b)$ при $a+b=1$ верно ли неравенство:
$a^2+b^2\le 2a^ab^b$

Верно! Даже $a^2+b^2\le \frac{8}{7}a^ab^b$ верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение01.08.2015, 17:52 


03/03/12
1380
Да, технология стандартная, но у меня другая: Ваше любимое АМ-ГМ для первого неравенства. Потом конструирование гипотетического неравенства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group