Доказать, что 2 - составное число?

[Ktina]

Докажите, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует натуральное число $n$ такое, что $a^n+b^{n+1}$ - составное число.

(Автор задачи - С. Л. Берлов, задача предлагалась на втором Кубке памяти Колмогорова, вот здесь: http://olympiads.mccme.ru/kolmogor/2/kolm2.htm (задача №62))

В задаче требуется доказать, кроме всего прочего, что число 2 является составным.
Предлагаю такой вариант доказательства:

Возьмёи три карточки.
Ha первой напишем: "Утверждения на второй и третьей карточках истинны".
Ha второй напишем: "Утверждение на первой карточке ложно".
Ha третьей напишем: "Число 2 - не составное".

Если утверждение утверждение на первой карточке истинно, то оно ложно. Противоречие. Значит, утверждение на первой карточке ложно. Ho тогда или на второй ложно, или на третьей. Если на второй, то на первой истинно - опять противоречие. Значит, на третьей! Следовательно, число 2 - составное!

[Sicker]

Ktina в сообщении #1041751 писал(а):

Противоречие.

И что? Откуда следует, что в системе утверждений не может быть противоречия?

[Ktina]

Sicker
А как мы обычно доказываем от противного? Предполагаем что-то, приходим к противоречию, и делаем из этого вывод, что предположение ошибочно.

[Sicker]

Ааа, ну тут мы сталкиваемся с такой ситуацией, когда утверждение не имеется определенной истинности. Те про него нельзя сказать, истинно оно или ложно.
Пример-я лгу.

[Ktina]

Sicker
С утверждением "я лгу" всё легко - если оно истинно, то оно ложно, а если оно ложно, то оно истинно. То есть, в обоих случаях мы приходим к противоречию.

Здесь же ситуация несколько иная. Если утверждение на первой карточке истинно, то оно должно быть ложным и мы приходим к противоречию. Однако если предположить, что утверждение на первой карточке ложно, то никаких противоречий (логических) не возникает.

[Sicker]

Ktina
Только в предположении, что мы не должны прийти к противоречию, а это может быть не так, см предыдущий мой пост.
А чтобы показать, что в принципе можем, на третьей карточке можно написать заведомо ложное утверждение, например "Утверждение на первой карточке ложно"

[aa_dav]

Ktina

Ktina в сообщении #1041758 писал(а):

А как мы обычно доказываем от противного? Предполагаем что-то, приходим к противоречию, и делаем из этого вывод, что предположение ошибочно.

Верно. Мы получили то, что предположение о том что все три карточки истинны - ложно.
А как дальше получить то, что одна конкретная из них ложна я так и не понял. Поясните переход?

[Ktina]

Sicker в сообщении #1041764 писал(а):

...
А чтобы показать, что в принципе можем, на третьей карточке можно написать заведомо ложное утверждение, например "Утверждение на первой карточке ложно"

Вот в том-то всё и дело, что если так написать, то получится всего лишь ещё один из многочисленных вариантов парадокса лжеца. Но у меня ведь не так.

[Xaositect]

Ну не заметили люди, бывает.

[Ktina]

aa_dav в сообщении #1041767 писал(а):

...
Верно. Мы получили то, что предположение о том что все три карточки истинны - ложно.
...

А где высказывалось именно такое предположение?

[Red_Herring]

Очевидно, оригинальная задача не совсем правильна и должно быть какое-то условие на $a,b$

Задача отнюдь не требовала доказать что 2 составное число. Да, конечно, это следует из утверждения, т.е. $a=b=1$ контрпример.

[Sicker]

Ktina в сообщении #1041768 писал(а):

Вот в том-то всё и дело, что если так написать, то получится всего лишь ещё один из многочисленных вариантов парадокса лжеца. Но у меня ведь не так.

Нельзя определять истинность третьего утверждения исходя из непротиворечивости всей совокупности утверждений.
Тк оная может быть. Возможность существования я доказал)

[nnosipov]

Red_Herring в сообщении #1041775 писал(а):

Очевидно, оригинальная задача не совсем правильна и должно быть какое-то условие на $$a,b$ $

Условие тут простое --- хотя бы одно из них должно быть больше единицы. А вообще задача как задача.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #1041779 писал(а):

Условие тут простое --- хотя бы одно из них должно быть больше единицы. А вообще задача как задача.

Разумеется. Но это условие случайно выпало и из этого факта некоторые участники форума делают далеко идущие выводы и устраивают камлания

[nnosipov]

Вообще, у товарищей из СПб опечатки бывают, но очень редко. Вот такой пример меня когда-то поставил в тупик:

(1996, Олимпиада 239-й школы, 10-11 классы) В бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, встретилось число, делящееся на 64. Докажите, что в этой прогрессии есть число, делящееся на 512.

Правда, во втором издании книги, где была опубликована эта задача, условие уже было подправлено.