2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение02.07.2015, 15:37 


07/06/11
1890
Хочу я написать выражения для вершины грав взаимодействия со скаляром, навроде того как это делается в это статье. То есть беру лагранжиан
$$ \sqrt{-g} L =\cfrac{1}{m_p^2} \sqrt{-g}(R-2\lambda)+\sqrt{-g} \left[ g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi^+ \partial_\nu \phi -m^2 \phi^+ \phi +a R \lvert\phi\rvert^2 \right] ~, $$
где $\lambda$ -- космологическая постоянная, $\phi$ -- скалярный комплексный дублет. Дальше, берем в качестве фона пространство Минковского и работаем с малыми возмущениями метрики $g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu} + \epsilon h_{\mu\nu} + o(\epsilon^2)$. При этом выражение для кривизны
$$ R= \epsilon \left[ h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu} -\square \operatorname{tr} h \right] ~. $$
Как по нему написать правила для вершины. Тут члены взаимодействия $ g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi^+ \partial_\nu \phi+ a R \lvert\phi\rvert^2$. Если я правильно понимаю, они описывают одну и ту же диаграмму
$$\xymatrix{
 & h_{\mu\nu} & \\
 & \bullet \ar@{<-}[rd]^{\vec q} \ar@{<~}[u]^{\vec k} & \\
s \ar@{->}[ru]^{\vec p} & & \bar{s}\\
}$$
Правильно я понимаю, что выражение для нее выражение $\cfrac{1}{m_p^2} ~\left( p_\mu q_\nu +a ~ k_\mu k_\nu\right)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение05.07.2015, 14:22 


07/06/11
1890
Не задался разговор. Давайте попробую изложить почему я так думаю.

Сначала, в качестве условий калибровки можно выбрать $h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu}=0$. Это несколько упростит лагранжиан
$$\sqrt{-g} L =- \cfrac{1}{m_p^2} \square \operatorname{tr} h_{\mu\nu}+\sqrt{-g} \left[ h^{\mu\nu} \partial_\mu \phi^+ \partial_\nu \phi -m^2 \phi^+ \phi -a \square \operatorname{tr}h_{\mu\nu} \lvert\phi\rvert^2 \right] ~.
 $$
Тут два члена взаимодействия $h^{\mu\nu}~ \partial_\mu \phi^+ ~ \partial_\nu \phi$ и $a \square \operatorname{tr}h_{\mu\nu} \lvert\phi\rvert^2$. Это все трехчастичное взаимодействие между двумя скалярами и гравитоном. Ну а дальше надо просто записать выражения для членов взаимодействия в фурье-представлении. Так и получаеются правила Фейнмана для вершин. Или не получаются, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение05.07.2015, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EvilPhysicist в сообщении #1033637 писал(а):
Не задался разговор.

Я бы кивнул, но не знаю сам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение06.07.2015, 15:34 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
EvilPhysicist в сообщении #1033637 писал(а):
Сначала, в качестве условий калибровки можно выбрать $h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu}=0$
Это нельзя брать в качестве калибровки. У Вас там вторая производная, такая же как и в уравнениях движения. Обычно в гравитации используют калибровку Фока-деДондера $\partial_\mu(\sqrt{-g}g^{\mu\nu})=0,$ которая в линеаризованном виде имеет вид $\partial_\mu h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^\nu h^\mu_\mu=0.$

EvilPhysicist в сообщении #1032950 писал(а):
$\phi$ -- скалярный комплексный дублет
В смысле дублет? В смысле поле и ему комплексно сопряжённое поле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение06.07.2015, 16:08 


07/06/11
1890
espe в сообщении #1034107 писал(а):
Обычно в гравитации используют калибровку Фока-деДондера $\partial_\mu(\sqrt{-g}g^{\mu\nu})=0,$ которая в линеаризованном виде имеет вид $\partial_\mu h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^\nu h^\mu_\mu=0.$

Окей, возьмем ее. Тогда
$$ R= \epsilon \left[ h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu} -\square \operatorname{tr} h \right]=-\cfrac12 ~\epsilon ~\square h  $$

espe в сообщении #1034107 писал(а):
В смысле дублет? В смысле поле и ему комплексно сопряжённое поле?

Нет, это Хиггсовский дублет из стандартной модели. Дублет по $SU(2)$, сделанный из двух комплексных скаляров по группе Лоренца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение09.07.2015, 17:25 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
EvilPhysicist в сообщении #1032950 писал(а):
Хочу я написать выражения для вершины грав взаимодействия со скаляром
У Вас именно эта цель? Тогда там будет не одна вершина, а бесконечно много. Или Ваша цель вычислить диаграмму, которая нарисована в статье? Или уже это всё не актуально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение09.07.2015, 17:57 


07/06/11
1890
espe в сообщении #1035212 писал(а):
У Вас именно эта цель?

Пока что да, я хотел разобраться правильно ли я делаю. Кстати говоря, говорил с одним человеком, который "в теме", говорит -- верно.

espe в сообщении #1035212 писал(а):
Тогда там будет не одна вершина, а бесконечно много.

Почему бесконечно много?

espe в сообщении #1035212 писал(а):
Или Ваша цель вычислить диаграмму, которая нарисована в статье?

Вообще да, но душа просит большего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение09.07.2015, 18:06 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
В "целом" верно. Но на лицо вычислительные ошибки. Если раскладываете на фоне плоской метрики, то никаких $\sqrt{-g}$ не может быть. Всё должно выражаться через $\eta_{\mu\nu}$ и $h_{\mu\nu}.$

-- Чт июл 09, 2015 19:47:31 --

EvilPhysicist в сообщении #1035222 писал(а):
Почему бесконечно много?
Как у Вас определяется $h^{\mu\nu}?$ Если $h_{\mu\nu}:=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu},$ то $g^{\mu\nu}$ это бесконечный ряд по $h_{\mu\nu}.$ И на оборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правила Фейнмана для гравитации
Сообщение24.07.2015, 15:29 


07/06/11
1890
В общем, что удалось узнать/понять/прочитать, если кому интересно.

Работают обычно с бездивергентной частью лагранжиана Гильберта:
$$ \sqrt{-g} L_\text{GR}=\sqrt{-g} g^{\mu\nu} (\Gamma_{\mu\sigma}^{\lambda} \Gamma_{\nu\lambda}^\sigma-\Gama_{\mu\nu}^\sigma \Gamma_{\sigma\lambda}^\lambda) $$
Если брать малые возмущения над пространством Минковского, то из этого лагранжиана получается лагранжиан Фиртза-Паули (Fierz-Pauli)
$$ \cfrac14\left[ 2 h^{\mu\nu,\sigma} h_{\mu\sigma,\nu} - h^{\mu\nu,\sigma} h_{\mu\nu,\sigma} + h_\sigma^{~\sigma,\mu} h^\rho_{~\rho,\mu} - 2 h^{\mu\sigma}_{,\sigma}  h^\nu_{\nu,\mu} \right] $$
Правила Фейнмана приводятся, например в данной работе. И для взаимодействия скаляра с гравитоном правило
$$\xymatrix{
 & & \\
 & \bullet \ar@{~}[r] \ar@{-->}[lu]^{\vec q} & \\
\ar@{-->}[ru]^{\vec p} & & \\
} \begin{matrix}\\ \\ \\ \\ = i ~\cfrac{k}{2} (m^2 \eta_{\mu\nu} +C_{\mu\nu\alpha\beta} p^{\alpha}q^{\beta}) \end{matrix}$$.

С помощью всего этого можно считать сечения, но они почему-то не совпадают с уже имеющимися результатами, например с этими.
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group