2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2015, 13:19 


25/08/11

1074
Почему последнее под цифрой 1 неравенство верно? Нужно считать производную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2015, 13:33 


21/07/15
31
Цитата:
Или что Вы хотите?

По условию нужно доказать, что меньше или равно. То, что меньше, Вы доказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2015, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
greg1982 в сообщении #1039460 писал(а):
Цитата:
Или что Вы хотите?

По условию нужно доказать, что меньше или равно. То, что меньше, Вы доказали.

Простите, я запутался в Ваших "хотелках". Я отвечал вот на это:
greg1982 в сообщении #1039434 писал(а):
А можно выяснить, при каких параметрах все-таки будет равно 42 ?

Выяснили?

-- 22.07.2015, 14:14 --

(greg1982)

Посмотрите, пожалуйста, как работает кнопка "вставка" под сообщением, если нажать её после того, как выделить какой-то текст в сообщении. Таким образом получаются правильно оформленные цитаты. Используйте, пожалуйста, -- так удобнее всем участникам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2015, 14:15 


21/07/15
31
grizzly, пардон. Я обратил внимание только на последнее выражение. У Вас действительно от 42 и ниже: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 9&dataset=

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.07.2015, 16:56 


03/03/12
1380
Sergic Primazon,
Из доказательства пункта (2) я поняла только, что при положительных переменных максимум 42 не достигается, как я и предполагала. Но само доказательство мало понятно. Однако это не важно, т.к. у меня идея простая, бесхитростная, и она мне понятна (правда, не мешало бы проверить, нет ли ошибок).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 12:45 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Можно завершить доказательство следующим образом.
Как было показано, достаточно доказать неравенство для $b=a$ и $c^4+2a^4=33$.
То бишь, надо доказать, что $10(2a+c)-3a^2c\leq42$ или $(10-3a^2)c\leq42-20a$.
Поскольку $a^4\leq16.5$, то $42-20a>0$.
Поэтому достаточно доказать, что $(10-3a^2)^4c^4\leq(42-20a)^4$ или $(10-3a^2)^4(33-2a^4)\leq(42-20a)^4$ или
$f(a)\geq0$, где $f(a)=4\ln(42-20a)-4\ln|10-3a^2|-\ln(33-2a^4)$.
$f'(a)=-\frac{80}{42-20a}+\frac{24a}{10-3a^2}+\frac{8a^3}{33-2a^4}=\frac{24(a-2)(20a^5-23a^4-46a^3-22a^2-209a+275)}{(21-10a)(10-3a^2)(33-2a^4)}$.
У $f$ есть три критические точки на промежутке $\left(-\sqrt[4]{16.5},\sqrt[4]{16.5}\right)$: $a_1=-1.978...$, $a_2=0.986...$ и $a_3=2$.
Последняя, как легко проверить, даёт ответ.
Мне не удалось доказать это неравенство классическим способом (AM-GM, C-S,...).

Следующее неравенство имеет красивое классическое доказательство без неопределённых множителей Лагранжа.

Для действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2=11$ докажите, что:
$$3(a+b+c)-2abc\leq15\sqrt2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 13:42 


21/07/15
31
Я решил тем же методом, что и первую задачу. Не стану расписывать, представлю слово Вольфраму:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ma ... 9&dataset=

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 15:00 


21/07/15
31
График тоже очень интересный: максимумы тут игольчатые:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 15:29 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )

(Первый блин)

arqady в сообщении #1039769 писал(а):
Для действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2=11$ докажите, что:
$$3(a+b+c)-2abc\leq15\sqrt2$$

Аналогично предыдущей задаче, устанавливаем, что максимум там, где одна переменная отрицательна, а 2 положительны.Так как у двух отрицательных переменных можно одновременно поменять знаки, и значение только увеличится. А если они все положительны, то коэффициент при каждой переменной, например $c$, имеет вид $3-2ab$, и менять знак переменной $c$ невыгодно, только если $ab\leq\dfrac 32$. То, что для трех положительных переменных имеются такие неравенства, означают, что две из них очень малы, можно получить оценку, что две наименьшие не больше 1, и оценить $3(a+b+c)<15\sqrt 2$
Пусть $c<0$, тогда аналогично предыдущей задаче, при постоянстве $a^2+b^2$ максимальное значение левой части при $a=b$
Обозначим $-c=x$, $2a^2+x^2=11$, $6a-3x+2a^2x\to\max$ в области $[0,\sqrt{11}]$
Подставим $a=\sqrt{\dfrac{11-x^2}{2}}$,
$$f(x)=6\sqrt{\dfrac{11-x^2}{2}}-3x+x(11-x^2)$$
$$f'(x)=-\dfrac{3x}{\sqrt{\dfrac{11-x^2}{2}}}+8-3x^2$$ убывающая, как сумма двух убывающих, одно значение корня производной $x=\sqrt{2}$ угадывается, значит, это максимум и других нет.ЧТД, Равенство достигается при $a=b=\dfrac{3}{\sqrt 2},c=-\sqrt 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 19:16 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1039769 писал(а):

Следующее неравенство имеет красивое классическое доказательство без неопределённых множителей Лагранжа.

Для действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2=11$ докажите, что:
$$3(a+b+c)-2abc\leq15\sqrt2$$


$a,b,c \ge 0$

$f(x,y,z)=3(x+y+z)-2xyz$

$f(-a,-b,-c) \le f(-a,b,c)$

$f(-a,-b,c) \le f(-a,b,c)$

1.
$f(-a,b,c) = -3a + 3(b+c) +2abc \le -3a +3\sqrt{2(11-a^2)}+a(11-a^2) \le ... \le f( -\sqrt{2},\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})=15 \sqrt{2}$

2.
$f(a,b,c)=3p-2r \le 3p+\frac{2}{9}p^3 -\frac{8}{9}pq$ (по н. Шура: $p^3+9r \ge 4pq$)

($a+b+c=p, ab+bc+ca=q , abc=r$)

$11=a^2+b^2+c^2=p^2-2q$

$f(a,b,c) \le - \frac{2}{9}p^3+(3+\frac{44}{9})p \le ... < 15 \sqrt{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 20:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
arqady в сообщении #1039769 писал(а):
Для действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2=11$ докажите, что:
$$3(a+b+c)-2abc\leq15\sqrt2$$

Я имел в виду следующее.
Если $abc>0$, то $3(a+b+c)-2abc<3(a+b+c)\leq3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3\sqrt{33}<15\sqrt2$.
Поэтому осталось доказать наше неравенство для $abc\leq0$. Пусть $bc\leq0$.
Тогда согласно C-S $3(a+b+c)-2abc=(3-2bc)a+3(b+c)\leq\sqrt{((3-2bc)^2+9)(a^2+(b+c)^2)}=$
$=\sqrt{(18-12bc+4b^2c^2)(11+2bc)}\leq15\sqrt2$, где последнее неравенство это $(bc+3)^2(2bc-7)\leq0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение23.07.2015, 23:17 


03/03/12
1380
arqady в сообщении #1039918 писал(а):
arqady в сообщении #1039769

писал(а):
Для действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2=11$ докажите, что:
$$3(a+b+c)-2abc\leq15\sqrt2$$

1). $abc>0$.
$a+b<\sqrt{22}$, т.к. $(a^2+b^2)+2ab>11+11$ не может быть.
$a+b+c<\frac3 2\sqrt{22}$
$4.5\cdot\sqrt{22}<15\cdot\sqrt{2}$
$0.81\cdot22<18$

arqady в сообщении #1039769 писал(а):
Как было показано, достаточно доказать неравенство для $b=a$ и $c^4+2a^4=33$.
То бишь, надо доказать, что $10(2a+c)-3a^2c\leq42$ или $(10-3a^2)c\leq42-20a$

При $c<0$, $a>0$ также можно доказать кратко методом от противного, сведя к уравнению от одной переменной плюс вольфрам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение24.07.2015, 16:13 


25/08/11

1074
arqady- да, схема доказательства понятна. Методом Лагранжа от задачи с тремя переменными к задаче с двумя, а потом с учётом ограничений-к исследованию функции одной переменной. Остается маленькая червоточинка-производную этой функции одной переменной пока не удаётся законченно строго исследовать, часть экстремумов численно находятся, или как? Это я про первоначальную задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение24.07.2015, 16:34 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
sergei1961, здесь Вам что-то не нравится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение24.07.2015, 17:57 


25/08/11

1074
то, что для уравнения 5 степени два действительных корня из 3 мы находим приближённо. Есть строгое доказательство, что максимум в двойке? Возможно, я что-то просмотрел...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group