компактность

[Oleg Zubelevich]

а какие сущетсвуют достаточные условия компактности множеств в $C_b(\mathbb{R}),\quad \|f\|_{C_b(\mathbb{R})}=\sup_{\mathbb{R}}|f(x)|$ и в $L^\infty(\mathbb{R})$

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1034701 писал(а):

$\|f\|_{C_b(\mathbb{R})}=\sup_{\mathbb{R}}|f(x)|$ и в $L^\infty(\mathbb{R})$

Я лично понятия не имею. Однако уверенно вижу, что в левой части буковка $b$ присутствует, а вот ни в одной из правых -- ни разу.

(это, если что -- один из стандартных критериев формального оценивания отдельных студентов)

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #1034864 писал(а):

Я лично понятия не имею

а зачем тогда пишите?

ewert в сообщении #1034864 писал(а):

, если что -- один из стандартных критериев формального оценивания отдельных студентов)

пока Вы формально оценили свое незнание английского и стандартных обозначений

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1034880 писал(а):

незнание английского и стандартных обозначений

В Папуа-Новой Гвинее тоже есть свои кустарные обозначения. Вы удивитесь, но их я тоже не знаю.

[Legioner93]

Oleg Zubelevich
Ну например Полнота + Равностепенная непрерывность

[grizzly]

(Оффтоп)

Вот не вижу здесь причин для конфликта. Ну есть такое обозначение для пространства непрерывных и ограниченных функций ($b$ ~ "bounded"). Ничего удивительного, если ТС, задавая вопрос, рассчитывает прежде всего на внимание тех, кому это обозначение знакомо (в других темах он его расшифровывал). Я уверен, что если бы был задан вежливый уточняющий вопрос от любого участника (независимо от национальности и страны принадлежности), ТС ответил бы без грубостей. Следовательно, мотив данного конфликта я вижу лишь в стремлении к конфликту (рад если логика моего умозаключения ущербна).

А задача действительно интересна. Обычно обобщения теорем Асколи--Арцело идут в сторону ухудшения свойств пространства для области определения, оставляя эту область компактом. Исключение из этого правила я видел только здесь. Может, и в этом случае достаточно потребовать финитность функций и стандартные свойства на каждом отрезке? Ещё одним решением, наверное, было бы требовать что-то вроде "равностепенного" устремления к нулю при $x\to \infty$ для всех попарных разностей. Хотя этот вариант тривиален, без него вообще не понятно как быть.

[Oleg Zubelevich]

Пример: последовательность $\Big\{\frac{1}{1+(x+n)^2}\Big\}$ ограничена, равностепенно непрерывна, сходящейся подпоследовательности не содержит

[grizzly]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035167 писал(а):

Пример: ...

Красивый пример! Отсюда видим, что потребовать только финитность и стандартные условия на каждом отрезке недостаточно. Зато вот этому оно не удовлетовряет:

grizzly в сообщении #1035123 писал(а):

требовать что-то вроде "равностепенного" устремления к нулю при $x\to \infty$ для всех попарных разностей. Хотя этот вариант тривиален, без него вообще не понятно как быть.

И я действительно думаю, что без чего-то подобного не обойтись, только постараться максимально сузить это требование, плюс корректно его оформить.

[grizzly]

Это я что-то такое хотел, кажется:

Для любого $M>0$
1) Множество функций $F$ удовлетворяет стандартным условиям на отрезке $x\in [-M;M]$;
2) Каждая функция $f(x)\in F$ имеет предел при $x\to -\infty$ и при $x\to +\infty$;
3) Для функций $f(t)$, где $t=1/x$, соответствующее множество (обозначим его $F^{-1}$) удовлетворяет стандартным условиям на отрезках $t\in [-1/M;0]$ и $t\in [0;1/M]$. (Эти функции рассматриваем как от переменной $t=1/x$; в т.0 доопределяем по непрерывности слева / справа. Чтобы не спотыкаться об $x=0$, лучше сформулировать отдельно для множеств: $F_{-M}^{-1}$ и $F_M^{-1}$ с отделением $x$ от 0 в каждом из них.)

Рискну предположить, что это будут необходимые и достаточные условия. Если так, то можно говорить просто про $C(\mathbb R)$, а не про $C_b(\mathbb R)$.

UPD. Думаю, что достаточно взять только $M=1$, что упростит. Но про "необходимость" я тогда сомневаюсь.

[ewert]

grizzly в сообщении #1035190 писал(а):

можно говорить просто про $C(\mathbb R)$, а не про $C_b(\mathbb R)$.

Можно просто потому, что никаких других пространств Цэ на Эр не бывает. Не считая подпространств, естественно.

[grizzly]

grizzly в сообщении #1035190 писал(а):

Если так, то можно говорить просто про $C(\mathbb R)$, а не про $C_b(\mathbb R)$.

Это глупость я сморозил, конечно. У нас же есть равномерная норма, нам нужно как-то следить, чтобы у точек (под)пространства была какая-то норма. Откорректировал то сообщение.

[Oleg Zubelevich]

grizzly
я Вашу мысль понял, срасибо, вот сюда загляните post1035234.html#p1035234

ewert в сообщении #1035193 писал(а):

Можно просто потому, что никаких других пространств Цэ на Эр не бывает. Не считая подпространств, естественно.

Это просто неверно, в $C_b(\mathbb{R})$ топология сильнее чем в $C(\mathbb{R})$.

[grizzly]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035239 писал(а):

grizzly
я Вашу мысль понял, срасибо, вот сюда загляните post1035234.html#p1035234

Да, спасибо. Мне оно даже примерно стало понятно (хотя та тема в целом для меня сложнее, чем интереснее :)