2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение05.07.2015, 22:24 


28/11/13

64
Здравствуйте, уважаемые участники и посетители форума!

Обращаюсь к вам с просьбой и предложением проверить корректность математического вывода в разделе “Теоретическая механика”.

Рассмотрим порядок ортов сферических координат, соответствующий, например, фигурирующему в [И.И.Ольховский, Курс теоретической механики для физиков, Изд-во Моск-го унив-та, 1978, стр.17 http://padaread.com/?book=28697&pg=17], которые связаны с правой базисной тройкой фиксированных векторов прямоугольной декартовой системы координат следующими соотношениями:

$\vec{n}_r=(\vec{n}_x \cos\varphi +\vec{n}_y \sin\varphi)\sin\Theta+\vec{n}_z \cos\Theta,  (1)$

$\vec{n}_\Theta=(\vec{n}_x \cos\varphi +\vec{n}_y \sin\varphi)\cos\Theta-\vec{n}_z \sin\Theta, (2)$

$\vec{n}_\varphi=-\vec{n}_x \sin\varphi +\vec{n}_y \cos\varphi. (3)$

Очевидно, что выражение

$\vec{n}_{\varphi }=\frac{\partial \vec{n}_{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial ((\vec{n}_{x}\cos\varphi+\vec{n}_{y}\sin\varphi)\sin\Theta +\vec{n}_{z}\cos\Theta)}{\partial \varphi }=(-\vec{n}_{x}\sin\varphi+\vec{n}_{y}\cos\varphi)\sin\Theta, (4)$

математически определяющее орт $\vec{n}_{\varphi }$, не только отличается от выражения (3) из предложенного вниманию справочного перечня, но и определяет равенство его модуля единице только при условии $\Theta= \pi/2\pm \pi n$.

Приняв во внимание определение (4), справочный перечень ортов (1) – (3) перепишем математически обоснованно, при $\Theta= \pi/2$, в порядке, соответствующем классическому перечню ортов цилиндрических координат (см., например, в [И.И.Ольховский, Курс теоретической механики для физиков, Изд-во Моск-го унив-та, 1978, стр.16 http://padaread.com/?book=28697&pg=16]):

$\vec{n}_r =\vec{n}_{\rho }=\vec{n}_x \cos\varphi +\vec{n}_y \sin\varphi, (5)$

$\vec{n}_{\varphi }=-\vec{n}_x \sin\varphi +\vec{n}_y \cos\varphi, (6)$

$\vec{n}_{\Theta }=-\vec{n}_z,  (7) $

который не согласуется с правой ориентацией базисной тройки векторов*.

Математически это обосновывается элементарно путем отыскания значения смешанного произведения ортов цилиндрических координат, выраженных через правую тройку базисных векторов прямоугольной декартовой системы координат, с соответствующим классическому порядком векторов в базисе ((5) – (7)):

$\left \langle \vec{n}_{\rho },\left [ \vec{n}_{\varphi}, -\vec{n}_z\right ] \right \rangle =\begin{vmatrix}
\cos \varphi  & \sin \varphi  & 0 \\
-\sin \varphi  & \cos \varphi  & 0 \\
0 & 0 & -1 
\end{vmatrix}=-1. (8)
\qquad $

Равенство значения смешанного произведения базисной тройки векторов цилиндрических координат “минус единице” и подтверждает сделанный вывод (*).

Буду благодарен за конструктивные замечания по корректности математического вывода, предложенного вниманию.

С уважением, DAP.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение05.07.2015, 22:37 


17/01/12
445
DAP в сообщении #1033952 писал(а):
$\vec{n}_{\varphi }=\frac{\partial \vec{n}_{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial ((\vec{n}_{x}\cos\varphi+\vec{n}_{y}\sin\varphi)\sin\Theta +\vec{n}_{z}\cos\Theta)}{\partial \varphi }=(-\vec{n}_{x}\sin\varphi+\vec{n}_{y}\cos\varphi)\sin\Theta, (4)$

Откуда вы такое определение взяли? Оно неверное. Вот верное:
$$\vec{e_i}=\frac 1 h_i \frac {\partial\vec r}{\partial a_i},$$
где $\vec{e_i}$ -- единичный орт координаты $a_i$, а $h_i$ -- коэффициент Ламе, который есть длина $\left\lvert\frac {\partial\vec r}{\partial a_i}\right\rvert$ и который также можно взять из выражения квадрата элемента длины $dl^2$, расписанного в координатах $a_i$: $dl^2=h_1^2 da_1^2+h_2^2 da_2^2+h_3^2 da_3^2.$
А теперь берём и расписываем элемент длины в сферических координатах:
$$dl^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta \, d\varphi^2 .$$
Нам нужна $\vec{e}_\varphi$, поэтому из выражения берём $h_{\varphi}$. Он равен $h_varphi=r\sin\theta$. Далее всё подставляем в правильную формулу. Посчитать можно и по вашей формуле (4), если её предварительно поправить (до правильного соотношения). Как видно к $\vec{n}_r$ в формуле (4) нужно добавить множитель $r$ (чтобы получить $\vec r$), а производную целиком поделить на $h_{\varphi}=r\sin\theta$. В итоге $r$ в числителе и знаменателе сократятся. Сократятся также и $\sin\theta$. И полученное выражение для $\vec{n}_r$ совпадет с формулой (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение05.07.2015, 22:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Во-первых, то, что идет за словами "очевидно, что", по меньшей мере не очевидно. :D Во-вторых, что в этом всем дискуссионного и физического?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение05.07.2015, 23:20 


17/01/12
445
DAP в сообщении #1033952 писал(а):
который не согласуется с правой ориентацией базисной тройки векторов.

Ну, конечно, же! У вас $\vec{n}_\varphi$ той и этой систем координат по направлению совпадают, $\vec{n}_r$ и $\vec{n}_\rho$ тоже смотрят в одну часть полупространства, а $\vec{n}_\theta$ и $\vec{n}_z$ -- противоположно направлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение06.07.2015, 02:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

DAP, можно поинтересоваться, почему вы в своих темах упорно не используете маленькую $\theta$ при том, что, как минимум, $\alpha\beta\mu\varphi$ вы почему-то не стесняетесь? Большая тета в окружении маленьких собратьев смотрится совершенно неуместно. Углы принято обозначать маленькими греческими буквами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение06.07.2015, 04:19 


28/11/13

64
kw_artem в сообщении #1033955 писал(а):
DAP в сообщении #1033952 писал(а):
$\vec{n}_{\varphi }=\frac{\partial \vec{n}_{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial ((\vec{n}_{x}\cos\varphi+\vec{n}_{y}\sin\varphi)\sin\Theta +\vec{n}_{z}\cos\Theta)}{\partial \varphi }=(-\vec{n}_{x}\sin\varphi+\vec{n}_{y}\cos\varphi)\sin\Theta, (4)$

Откуда вы такое определение взяли? Оно неверное. Вот верное:
$$\vec{e_i}=\frac 1 h_i \frac {\partial\vec r}{\partial a_i},$$
где $\vec{e_i}$ -- единичный орт координаты $a_i$, а $h_i$ -- коэффициент Ламе, который есть длина $\left\lvert\frac {\partial\vec r}{\partial a_i}\right\rvert$
производную целиком поделить на $h_{\varphi}=r\sin\theta$


$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi }=\frac{\partial (r\vec{n_{r}})}{\partial \varphi }=\vec{n_{r}}\frac{\partial r}{\partial \varphi } +r \frac{\partial \vec{n_{r}}}{\partial \varphi }=\vec{n_{r}}\frac{\partial r}{\partial \varphi } +r(-\vec{n_{x}}\sin \varphi +\vec{n_{y}}\cos \varphi)\sin\Theta; $

$\left | \frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi } \right |=\left | \sqrt{\left ( \frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi } \right )^{2}} \right |\neq r\sin \Theta\Rightarrow$

$\frac{\partial \vec{r}/\partial \varphi }{\left | \partial \vec{r}/\partial \varphi  \right |}\neq -\vec{n_{x}}\sin \varphi +\vec{n_{y}}\cos \varphi $

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте вывод о противоположной ориентированности базисов.
Сообщение06.07.2015, 10:49 


17/01/12
445
DAP, напомните-ка определение частной производной

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.07.2015, 11:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: поскольку ответ на вопрос об отношении происходящего к физике я не получил, попробуем передать проблему сюда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group