2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение27.06.2015, 12:08 


10/02/11
6786
На $3-$ мерном римановом многообразии с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^3)$ и метрикой $g_{ij}(x)$ задана гладкая кривая $x(s)$.

Определение.
Прараметр $s$ называется натуральным, если $g_{ij}(x(s))\dot x^i(s)\dot x^j(s)=1,$ точкой обозначена производная по $s$.
Далее будем считать, что кривая параметризована натуральным параметром.

Введем вектор $v(s)=\dot x(s)$ это касательный вектор к кривой и его длина равна 1.

Лемма. Вектор $v$ ортогонален вектору $\nabla_{\dot x}v=\dot v+\Gamma_{ij}^pv^i\dot x^je_p$.
Действительно, $0=\nabla_{\dot x}(v,v)=2(\nabla_{\dot x}v,v).$

Далее будем считать, что векоры $\nabla_{\dot x}v$ и $v$ линейно независимы.

Через $n$ обозначим единичный вектор, сонаправленный с $\nabla_{\dot x}v;\quad \nabla_{\dot x}v=k(s)n(s) $. По определению, $k$ это кривизна кривой. Мы получили первую формулу Френе.

Вектор $n$ перпендикулярен вектору $\nabla_{\dot x}n$. Доказательство аналогично лемме.


Введем вектор бинормали $b=v\times n$. Тогда $\nabla_{\dot x} n=\lambda v+\gamma b$. Умножим эту формулу скалярно на $v:\quad (\nabla_{\dot x} n,v)=\lambda$. С другой стороны $0=\nabla_{\dot x}(n,v)=(\nabla_{\dot x}n,v)+k.$
Поэтому $\nabla_{\dot x} n=-k v+\gamma b$. Функция $\gamma$ называется кручением кривой. Получена вторая формула Френе.


Далее $\nabla_{\dot x}b=(\nabla_{\dot x}v)\times n+v\times(\nabla_{\dot x} n).$ (Для вывода этой формулы нужно вспомнить, что такое ковариантное дифференцирование тензорных плотностей)
Подставляя сюда уже полученные формулы, находим $\nabla_{\dot x}b=-\gamma n$. Это третья формула Френе.

Все это обобщается далее по размерности многообразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение27.06.2015, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не хотите рассмотреть подмногообразие коразмерности 2 (а потом и $k$)?

-- 27.06.2015 14:37:25 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1031532 писал(а):
Все это обобщается далее по размерности многообразия.

Покажите, как обобщается вот этот вот пункт:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение27.06.2015, 15:45 


10/02/11
6786
Как строить репер Френе в многомерном случае объяснено здесь: post1031432.html#p1031432
вместе с этой веткой достаточно, что бы вы могли додумать детали. ортогонализация производится методом Грамма-Шмидта

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение27.06.2015, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну понятно, но это не позволяет писать "Все это обобщается далее...", и считать текст самодостаточным.

И всё-таки, для подмногообразий размерности больше 1 - вопрос интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение28.06.2015, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Использование векторного произведения - ошибка. Всё можно сделать и без него и гораздо "общее".

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 00:35 


10/02/11
6786
в случае, когда кривая начерчена на двумерном римановом многообразии, ее кривизна в смысле стартового поста совпадает с геодезической кривизной: $k=k_g$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 10:21 


10/02/11
6786
В стандартном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ кривая полностью (с точностью до движений) определяется своим натуральным уравнением т.е. заданными кривизной и кручением. Можно ли доказать что-то подобное если вместо $\mathbb{R}^3$ у нас риманово многообразие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Наверное, если многообразие допускает хоть какое-то движение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #1032030 писал(а):
Можно ли доказать что-то подобное если вместо $\mathbb{R}^3$ у нас риманово многообразие?

В пределах каждой карты это сводится к случаю $\mathbb{R}^3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 11:59 


10/02/11
6786
не сводится

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну так что, вторую квадратичную форму решили не изобретать? (И вместе с ней последовательность форм высших степеней.)

-- 29.06.2015 12:02:48 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1032055 писал(а):
не сводится

Должно сводиться.

Правда, тут есть нюанс. Риманово многообразие имеет гладкость порядка 2. А тут может потребоваться порядок 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 12:41 


10/02/11
6786
Похоже, что ответ на поставленный вопрос "вообще говоря, нет". Действительно, возьмем не трехмерное многообразие, а двумерный тор с метрикой идуцированной из стандартного $\mathbb{R}^3$. И возьмем две замкнутые негомотопные геодезические на этом торе. У этих геодезических разная длина, поэтому переводиться изометрией одна в другую не может. При этом у них одинаковое натуральное уравнение: $k(s)\equiv 0$. ( А можно взять одну замкнутую геодезическую, а другую незамкнутую на плоском торе, скажем. Результат тот же).
Видимо, для положительного ответа на вопрос надо накладывать условия на топологию многообразия и на метрику тоже, подозреваю.

-- Пн июн 29, 2015 12:52:59 --

а ведь и в $\mathbb{R}^2$ ,думаю, можно так задать метрику, что одни геодезические будут замкнутыми, а другие -- нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А здесь изометрии вообще по делу? Может быть, правильное утверждение имеет вид "из любой точки в любом направлении выходит ровно одна кривая с данным натуральным уравнением"? Под направлением можно понимать заданный репёр Френе при $s=0$.

Т. е. исходная формулировка про движения $\mathbb R^3$ кажется просто совпадением, потому что у $\mathbb R^3$ много изометрий, а у произвольного риманова многообразия очень мало или даже вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 13:03 


10/02/11
6786
g______d в сообщении #1032073 писал(а):
Может быть, правильное утверждение имеет вид "из любой точки в любом направлении выходит ровно одна кривая с данным натуральным уравнением"? Под направлением можно понимать заданный репёр Френе при $s=0$.

ну это понятно, теорема существования и единственности
g______d в сообщении #1032073 писал(а):
А здесь изометрии вообще по делу?

а я не знаю как правильно переносить то утверждение
g______d в сообщении #1032073 писал(а):
у произвольного риманова многообразия очень мало или даже вообще нет.


есть! есть ! $\mathrm{id}$ :D

-- Пн июн 29, 2015 13:06:23 --

а что вообще про группу изометрий риманова многообразия известно?

-- Пн июн 29, 2015 13:23:34 --
Наверное формулировать надо так. Есть риманово многообразие и его изометрия, переводящая точку $x_1$ с репером $R_1$ в точку $x_2$, репер $R_1$ при этом переводится в репер $R_2$ в точке $x_2$. Теперь через каждую из точек $x_1,x_2$ пропускаем кривую с одинаковыми кривизной и кручением и начальными реперами Френе $R_1$ и $R_2$ соответственно. Утв: Данная изометрия переведет кривую в кривую. Тривиально оказалось

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы Френе на римановом многообразии
Сообщение29.06.2015, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #1032069 писал(а):
При этом у них одинаковое натуральное уравнение: $k(s)\equiv 0$.

А, ну так ещё начальные условия задать надо: точку и направление кривой (включая весь базис "кручений старших порядков"). Это совсем банально, я не думал, что вы про это имеете в виду.

Oleg Zubelevich в сообщении #1032069 писал(а):
а ведь и в $\mathbb{R}^2$, думаю, можно так задать метрику, что одни геодезические будут замкнутыми, а другие -- нет

Надавите пальцем на $\mathbb{R}^2,$ так чтобы получился цилиндр с крышечкой. Геодезические по окружности этого цилиндра будут замкнуты, а все остальные - нет.

Oleg Zubelevich в сообщении #1032077 писал(а):
а что вообще про группу изометрий риманова многообразия известно?

В общем случае никаких изометрий. Дальше либо дискретные симметрии с какой-то произвольной группой (например, если многообразие - икосаэдр со сглаженными углами, то будет группа икосаэдра), либо существование векторов Киллинга.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group