2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 неголономный вариационный принцип
Сообщение09.06.2015, 17:02 


10/02/11
6786
В этой теме на простом примере показываются связи и различия между голономным и неголономным вариационным принципом.


Рассмаотрим систему с лагранжианом $$L(x,\dot x)=\frac{1}{2}g_{ij}\dot x^i\dot x^j,\quad x=(x^1,\ldots,x^m)\in \mathbb{R}^m,\quad \det (g_{ij})\ne 0,\quad g_{ij}=g_{ji}.$$ Для простоты будем считать, что $g_{ij}=const$.
Будем искать экстремали функционала действия $\int_{t_1}^{t_2}L(x(t),\dot x (t))dt$ в классе гладких кривых $x(t)$ с закрепленными концами $x(t_i)=x_i,\quad i=1,2$ подчиненных уравнению связи
$$a_k(x)\dot x^k=0\qquad (*)$$
Как известно, решение этой задачи удовлетворяет системе с лагранжианом $\mathcal L=L-\lambda a_k\dot x^k$ (где $ \lambda =\lambda(t)$ -- множитель Лагранжа), которая записывается следующим образом
$$g_{ik}\ddot x^i-\dot \lambda a_k-\lambda \dot x^s\Big(\frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}\Big)=0.\qquad (**)$$
Для того, что бы записать систему (*)-(**) в виде разрешенном относительно старших производных, продифференуируем формулу (*) по $t$:
$$\frac{\partial a_i}{\partial x^n}\dot x^n\dot x^i+a_i\ddot x^i=0$$
и подставим в эту формулу $\ddot x^i$ , выраженный из (**)
$$\frac{\partial a_i}{\partial x^n}\dot x^n\dot x^i+a_ig^{ik}\Big(\dot \lambda a_k+\lambda \dot x^s\Big(\frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}\Big)\Big)=0.\qquad (***)$$
Уравнение (***) легко разрешается относительно $\dot \lambda$, полученное выражение еще следует подставить в (**).
Таким образом решение поставленной вариационной задачи находится из системы дифференциальных уравнений (**)-(***) на неизвестные функции $x(t),\lambda(t)$.

Отметим некоторые особенности данной системы.
1 случай: форма $\omega=a_idx^i$ не является замкнутой: $\frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}\ne 0$. В этом случае система (**)-(***) представляет собой систему вакономной механики.
Отметим, что система (**)-(***) не совпадает, вообще говоря, с системой уравнений классической неголономной механики:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial L}{\partial  x^i}=\mu a_i,$$ где $\mu$ -- множитель Лагранжа.

Важная особенность системы (**)-(***) состоит в том, что для того что бы получитьь единственное решение недостаточно задавать начальные условия лишь на $x, \quad x(0),\quad \dot x(0)$, нужно задавать еще $\lambda(0)$. При разных $\lambda(0)$ и одних и тех же $x(0),\quad \dot x(0)$ мы будем получать разные $x(t)$. В этом смысле решение задачи вакономной механики не единственно.

2 случай: $d\omega =0,\quad \frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}=0$. Локально это означает, что $a_i=\frac{\partial f(x)}{\partial x^i},$ а связь (*) переписывается в виде $f(x)=0$. Выражая $\dot \lambda$ из системы (***) и подставляя полученное выражение в (**) мы получаем систему уравнений классической механики с лагранжианом $L$ и дополнительной голономной связью $f(x)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неголономный вариационный принцип
Сообщение16.06.2015, 12:32 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Можно было бы упомянуть в 1 случае, что если $d\omega\ne{0}$, а $\omega\wedge{d\omega}=0$, то система голономна (термин вакономная может потребовать дополнительных разъяснений).
В общем, впечатление неплохое.

 Профиль  
                  
 
 Re: неголономный вариационный принцип
Сообщение17.06.2015, 15:54 


10/02/11
6786
да, конечно, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group