2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 разные ответы?
Сообщение15.06.2015, 16:01 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Пытаюсь сравнить две варианта ответа к одной и той же задаче. Искомая функция $p(x,t)$, $x,t\ge0$, обладает следующими свойствами: 1. $p(x,t)$ является как минимум дважды дифф. по $x$ и как минимум единажды по $t$; 2. $p(x,0+)=\delta(x)$, где $\delta(x)$ - Дельта функция; 3. существует $f(x)=\lim_{t\to\infty} p(x,t)$; и 4. $\int_{0}^{\infty} p(x,t)\,dx=1$ для всех $t\ge0$, в частности $\int_{0}^\infty f(x)\,dx=1$.

Один вариант ответа имеет вид:
$$
p_1(x,t)
=
f(x)+\int_{0}^{\infty} e^{-t (1+y^2)} \frac{g(y,t)}{1+y^2}\,dy,
$$
где $f(x)=\lim_{t\to+\infty}p(x,t)$. Другой вариант ответа имеет вид:
$$
p_2(x,t)
=
\int_{0}^{\infty} e^{-t (1+y^2)} \frac{g(y,t)}{1+y^2}\,dy.
$$

Т.е. получается, что
$$
\partial_t p_1(x,t)
=
\partial_t p_2(x,t)
=
-\int_{0}^{\infty} e^{-t (1+y^2)}g(y,t)\,dy,
$$
и тогда, например, чтобы получить $p_1(x,t)$ можно поступить след. образом:
$$
p_1(x,t)
=
\int_{t}^{\infty} \partial_t p_1(x,s)\,ds,
$$
и использовать тот факт, что $f(x)=\lim_{t\to+\infty}p(x,t)$ (который устанавливается из других соображений).

Однако, для второго варианта ответа имеем:
$$
p_2(x,t)
=
\int_{0}^{t} \partial_t p_2(x,s)\,ds,
$$
и тут возникает проблема с начальным условием $p(x,0+)=\delta(x)$. Верно ли что $p_1(x,t)$ и $p_2(x,t)$ (в смысле обобщенных функций)?

Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group