2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 что это за разложение матрицы?
Сообщение31.05.2015, 16:36 


25/03/10
590
Цитата:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0.7 & 0.8\\
0.7 & 1 & 0.9\\
0.8 & 0.9 & 1
\end{pmatrix}
=$$
$$
=
\begin{pmatrix}
\sqrt{2.60}\cdot 0.55 & \sqrt{0.31}\cdot 0.80 & \sqrt{0.08}\cdot 0.23\\
\sqrt{2.60}\cdot 0.58 & \sqrt{0.31}\cdot (-0.57) & \sqrt{0.08}\cdot 0.59\\
\sqrt{2.60}\cdot 0.60 & \sqrt{0.31}\cdot (-0.19) & \sqrt{0.08}\cdot (-0.78)
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
\sqrt{2.60}\cdot 0.55 & \sqrt{2.60}\cdot 0.58 & \sqrt{2.60}\cdot 0.60\\
\sqrt{0.31}\cdot 0.80 & \sqrt{0.31}\cdot (-0.57) & \sqrt{0.31}\cdot (-0.19)\\
\sqrt{0.08}\cdot 0.23 & \sqrt{0.08}\cdot 0.59 & \sqrt{0.08}\cdot (-0.78)
\end{pmatrix}
$$


по какой такой известной формуле это расписано?

я знаю, что есть разложение матрицы на главные вектора и главные значения с помощью трёх матриц: $A=PDP^{-1}$.
в приведённой цитате у первой после знака равенства матрицы в первой колонке первый множитель - это максимальное собственное значение исходной матрицы; второй множитель - это соответствующий собственный вектор, и так далее. после знака умножения стоит транспонированная матрица первой. то есть как-то похоже, но не полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение31.05.2015, 17:14 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
У вас опечатка в последней строке - второй элемент строки должен быть равен $0.9$.
И первые множители в колонках (корни) - это не собственные значения, а корни из них.
bigarcus в сообщении #1021885 писал(а):
я знаю, что есть разложение матрицы на главные вектора и главные значения: $A=PDP^{-1}$.

Так это оно и есть. Взяли матрицу $D=\operatorname{diag}\{2.6, 0.31, 0.08\}$ и извлекли из неё корень: $\sqrt{D}=\operatorname{diag}\{\sqrt{2.6}, \sqrt{0.31}, \sqrt{0.08}\}$. Тогда $A=P \sqrt{D} \sqrt{D} P^{-1}$. До вашего разложения тут рукой подать.

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение31.05.2015, 18:10 


25/03/10
590
так что ли? $A=(P\sqrt{D})(\sqrt{D}P^{-1})=(P\sqrt{D})(\sqrt{D}P)^{-1}=(P\sqrt{D})(P\sqrt{D})^T$

второе равенство, т.к. матрица $(\sqrt{D}P^{-1})$ симметрична, а первое равенство поскольку для диагональная матрица совпадает со своей транспанированной?

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение31.05.2015, 18:29 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Ой не так ли, действий намного меньше на самом деле.
bigarcus в сообщении #1021916 писал(а):
матрица $(\sqrt{D}P^{-1})$ симметрична

Почему?
После расставления скобок всего одно равенство надо написать. Да можно, впринципе, и не писать, всё готово. Дело в том, что матрица $P$ из собственных векторов в случае симметричной $A$ не абы какая, а особенная: https://ru.wikipedia.org/wiki/Симметричная_матрица

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 00:31 


25/03/10
590
NSKuber в сообщении #1021925 писал(а):
Дело в том, что матрица $P$ из собственных векторов в случае симметричной $A$ не абы какая, а особенная

ортогональная вроде. и для нее обратная совпадает с транспанированной

тогда $A=(P\sqrt{D})(\sqrt{D}P^{T})$ ?

-- Пн июн 01, 2015 00:43:23 --

и $A=(p\sqrt{D})(\sqrt{D}P)^T$, можно так прям, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 04:49 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Почти. Транспонирование произведения напрямую не раскрывается - порядок матриц меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 06:23 


25/03/10
590
не знал)

тогда
$$A=PDP^{-1}=P\sqrt{D}\sqrt{D}P^{-1}=(P\sqrt{D})(\sqrt{D}P^{-1})=(P\sqrt{D})(\sqrt{D}P^{T})=(P\sqrt{D})(P\sqrt{D})^T$$

а почему wolfram alpha и maple дают разные собственные вектора (и они отличаются от приведенного в методичке, т.е. от первого сообщения в теме)?

(Оффтоп)

Изображение


(Оффтоп)

Изображение

?

-- Пн июн 01, 2015 06:48:57 --

знаки перед собственными векторами не совпадают :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 08:55 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Это всё оттого, что собственных векторов много. Собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda$ - это что такое? Это произвольный вектор $x$, удовлетворяющий $Ax=\lambda x$. Пусть мы нашли такой вектор $x$ и зафиксировали. Тогда будет ли выполняться $Ay=\lambda y$, если $y=-x$? А если $y=cx$, где $c$ - произвольная константа?

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 15:06 


25/03/10
590
вот черт
а чего, от выбора этой константы ничего не зависит? точнее, видимо, от ее знака (вроде только он меняется)
разные ведь главные компоненты получатся!

-- Пн июн 01, 2015 15:18:27 --

или надо вручную домножать на -1 отрицательные вектора чтобы больше положительных было?

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bigarcus в сообщении #1022334 писал(а):
а чего, от выбора этой константы ничего не зависит?

Нет, абсолютно ничего. Собственный вектор - это всего лишь произвольный представитель собственного подпространства.

При желании, собственные вектора можно нормировать на единицу. Но даже тогда, каждый собственный вектор может быть выбран двумя способами, $x$ и $-x.$ И наконец, можно потребовать, чтобы все собственные векторы образовывали правую $n$-ку (когда они вообще образуют базис). И даже в этом случае, можно произвольно выбрать один из двух способов для всех векторов, кроме последнего.

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 17:11 


25/03/10
590
формула $A\cdot x=\lambda \cdot x$ понятна
я имею в виду, для PCA в конечном счете важно какие именно брать собственные вектора?

ведь дальнейшие формулы меняются, те же выражения для главных компонент...
я далеко заглянуть у меня не получается пока
не пойму почему не зависит всетаки

 Профиль  
                  
 
 Re: что это за разложение матрицы?
Сообщение01.06.2015, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это надо знать, что такое PCA, так что я не в курсе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group