2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 15:09 


23/12/12
52
Здравствуйте,

скажите, пожалуйста, я правильно думаю, что такой ряд сходится, вообще-то всегда
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^t e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}dt_0.
$$
Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает, а скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 15:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
vanoand в сообщении #1021083 писал(а):
Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает

Из этого ещё ничего не следует.

vanoand в сообщении #1021083 писал(а):
скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

Скорость сходимости ряда не может зависеть от внутренней переменной интегрирования -- ряд этой переменной не видит.

И уж кстати: неприлично обозначать переменную как константу, а константу как переменную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
vanoand в сообщении #1021083 писал(а):
Здравствуйте,

скажите, пожалуйста, я правильно думаю, что такой ряд сходится, вообще-то всегда
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^t e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}dt_0.
$$
Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает, а скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

То, что этот ряд сходится - верный и тривиальный факт, но ваше обоснование его выглядит ужасно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:03 


23/12/12
52
Brukvalub,
ewert,

cпасибо за ответ! Хорошо, мое обоснование абсолютно неправильное, а какое же верное?

И обозначения не мои, но могу подправить
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Так лучше, конечно.

В Вашем случае надо равномерно оценить подынтегральную функцию сверху и сослаться на признак сравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
vanoand в сообщении #1021110 писал(а):
Хорошо, мое обоснование абсолютно неправильное, а какое же верное?

Верным обоснованием, будет, например, очевидная оценка сверху модулей членов ряда членами заведомо сходящегося ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:47 


23/12/12
52
Brukvalub
ewert

А можно переставить местами суммирование и интегрирование? Тогда будет так
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt = \int_0^{t_0} e^{t}  \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}dt  =  \int_0^{t_0} e^{2t} dt = \frac{1}{2}(e^{2t_0}-1) .
$$
По-моему, нельзя. Что же тогда делать? Ряд из подынтегральной функции сходится потому что
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}
$$
сходится к экспоненте, но там же сначала проинтегрировать эту функцию нужно, а потом просуммировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
vanoand в сообщении #1021140 писал(а):
А можно переставить местами суммирование и интегрирование?

Можно. Однако это -- гораздо более сложный вопрос, чем тот, который стоит перед Вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 18:44 


23/12/12
52
ewert,

Хорошо, как Вы говорите, найдем мажорирующий сходящийся ряд для нашего ряда
$$
a_n = \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt.
$$
Например, ряд с таким членом
$$
b_n = e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}
$$
$$
|a_n| < |b_n|
$$
Так как
$$
\sum_{n=0}^{\infty} b_n = \sum_{n=0}^{\infty} e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!} = e^{2t_0},
$$
то ряд
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt
$$
тоже сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 18:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Верно, но с двумя оговорками. Во-первых, сумму мажорирующего ряда вовсе не нужно было выписывать явно. Во-вторых, модули тоже не нужны, а один из них даже вреден: он приводит к тому, что логическая цепочка оказывается формально разорванной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert в сообщении #1021181 писал(а):
Во-вторых, модули тоже не нужны

Модуль нужен, чтобы не заботиться о положении верхнего предела интегрирования по отношению к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 19:02 


23/12/12
52
ewert,

спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 19:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub в сообщении #1021185 писал(а):
Модуль нужен

Модуль вреден: из $|a_n|<|b_n|$ и сходимости ряда $\sum b_n$ формально ничего не следует. Без дополнительных оговорок, а их в тексте не было.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group