2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Глобальная суперсимметрия мирового листа
Сообщение28.05.2015, 21:16 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Есть детский вопрос, возникший при чтении 4 главы "Теории суперструн" Грина, Шварца, Виттена.

Рассмотрим действие
$$
S = -\frac{1}{2\pi} \int d^2 \sigma \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu - i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right),
$$
где $\psi^\mu$ -- майорановские спиноры,
$$
\rho^0 =
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix},
\qquad
\rho^1 =
\begin{pmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{pmatrix},
$$
$$
\bar \psi = \psi^\dagger \rho^0.
$$

Утверждается, что действие инвариантно относительно следующих инфинитезимальных преобразований:
$$
\delta X^\mu = \bar \varepsilon \psi^\mu,
$$
$$
\delta \psi^\mu = -i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon,
$$
где $\varepsilon$ -- постоянный (не зависящий от координат на мировом листе) антикоммутирующий майорановский спинор.

У меня не получается показать инвариантность. Подскажите, где я ошибаюсь.
$$
\delta \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu \right)
= 2 \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha \bar \psi^\mu \varepsilon
$$
(использовано $\bar \chi \psi = \bar \psi \chi$).

\begin{multline*}
\delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right)
= -i \overline{\left(-i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon\right)} \rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu
  -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \left( -i \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon \right)\\
= - \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon
  - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon.
\end{multline*}

Заметим, что
\begin{multline*}
\overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu}
= \partial_\beta \psi_\mu^\dagger (\rho^\beta)^\dagger \rho^0
\equiv \partial_0 \psi_\mu^\dagger (\rho^0)^\dagger \rho^0
+ \partial_1 \psi_\mu^\dagger (\rho^1)^\dagger \rho^0\\
= \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0
- \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^1 \rho^0
= \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0
+ \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^1
\equiv \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta.
\end{multline*}

Поэтому
\begin{multline*}
\delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right)
= - \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon
  - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon\\
\equiv
  - \partial_\alpha \bar \psi_\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\beta X^\mu \varepsilon
  - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon.
\end{multline*}

Каким образом вариация может занулиться решительно неясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальная суперсимметрия мирового листа
Сообщение28.05.2015, 22:08 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Если не путаю должно быть так. Используйте $\{\rho^\alpha,\rho^\beta\}=-2\eta^{\alpha\beta}$. Бозонная часть должна в итоге съесть фермионную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальная суперсимметрия мирового листа
Сообщение28.05.2015, 22:42 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Да, это соотношение верное. Но оно не помогает (мне). Оно действительно вертится на языке, и нет сомнений в том, что оно должно пригодиться -- свёртка с $\eta^{\alpha\beta}$ даст как раз бозонную часть, да ещё и с правильным множителем -- 2. Но как? Явно что-то делать надо с последним фермионным членом: там слишком много производных напало на $X^\mu$. Но как одну оттуда прогнать? Тут же даже особо по частям с занулением граничного члена не поинтегрируешь -- симметрия-то глобальная (а даже если и сделать вид что можно, ерунда получается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальная суперсимметрия мирового листа
Сообщение28.05.2015, 23:01 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Во-первых, по-моему вы перепутали знак в члене с вариацией $\bar{\psi}^\mu$ (не забыли, что при сопряжении $i$ знак меняет?). Во-вторых, займитесь пока замкнутой струной, а про граничные члены думайте потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальная суперсимметрия мирового листа
Сообщение28.05.2015, 23:16 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Ааа, про знак это ценное замечание. Ведь тождество $\bar \chi \psi = \bar \psi \chi$ требует действительности $\chi$ и $\psi$, а я использовал его и там, где это нарушалось.

А про граничные члены. Я ж как раз говорю, что тут, с одной стороны, они ничего хорошего давать не могут, в том смысле, что перебросить производную, за счёт зануления оных, нельзя, ввиду независимости малого параметра от координат. А с другой стороны, перебросить производную хочется...

UPD. С учётом замечания про действительность, получаем
$$
\delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right)
=
 \partial_\alpha \bar \psi_\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\beta X^\mu \varepsilon
 - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon.
$$
Теперь я даже могу подогнать под ответ: воспользоваться во последнем члене антикоммутационным сооношением для матриц Дирака и перебросить производные со сменой знака. Но пока это действительно не более чем подгон, т.к. переброска производных не обоснована.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальная суперсимметрия мирового листа
Сообщение29.05.2015, 03:41 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Вот оно что. Вариация лагранжевой плотности -- не ноль, а "полная производная":
$$
\delta \mathcal L =
- \partial_\alpha \bar \psi^\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\beta X_\mu \varepsilon
- \bar \psi^\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\alpha \partial_\beta X_\mu \varepsilon
= - \partial_\alpha \left( \bar \psi^\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\beta X_\mu \varepsilon \right)
\equiv \partial_\alpha \varphi^\alpha.
$$
Так что таким преобразованиям будет соответствовать сохраняющийся ток. И лишь в этом смысле "действие инвариантно относительно преобразований". Т.е. оно инвариантно, конечно, но с точностью до интеграла по границе (который частенько действительно нулевой, скажем, когда мировой лист свернулся во что-то типа сферы -- без границы).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group