2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение26.05.2015, 19:19 


10/02/11
6786
pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):
Не имею представления, как измерить простоту доказательства, но не в числе же строк?!

и в числе строк тоже, разумеется

pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):
Эта идея, кроме того, используется и при доказательстве ряда других утверждений такого рода.

Правильно, можно переписывать всякий раз одни и теже рассуждения по разным поводам, а можно сформулировать общую теорему и на нее ссылаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение26.05.2015, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):
Все же не верится, что введение тензорных степеней расслоений и определение связности, как "естественной" операции, удовлетворяющей свойствам 1,2,3,4,5 может быть интуитивно и образно.
Впрочем, может Вы и правы.

Не знаю. Мне тензорные степени (вообще чего угодно) понравились сразу и безоглядно как совершенно естественное математическое обобщение "если можешь сделать что-то один раз, то попробуй сделать это $n$ раз" (не исключая $n=\infty,$ кстати). А уж к чему их приложить... дальше они как язык. Если что-то выражается на их языке, то и пускай. Зачем пытаться не пустить себя к этой возможности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение26.05.2015, 20:54 


20/03/14
12041
 !  pon4ik
Устное замечание за избыточное цитирование.

Оставляйте, пожалуйста, ровно то, что необходимо. Полезно также использование кнопки Изображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 05:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Oleg Zubelevich в сообщении #1019970 писал(а):
Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.


Ладно, вторая попытка. Имеется взаимно однозначное соответствие между векторными полями и локальными однопараметрическими группами диффеоморфизмов, которое строится так: в одну сторону -- это поток векторного поля, в другую -- траектория точки $x$ даёт кривую, класс эквивалентности которой является вектором в этой точке. Т. е. однопараметрические группы совпадают, если совпадают их генераторы.

Дальше пусть есть два векторных поля $X,Y$, и $g_t$, $h_t$ -- их потоки. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов
$$
g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}.
$$
Это однопараметрическая подгруппа. Её генератор пропорционален коммутатору $[X,Y]$, который равен нулю, поэтому это на самом деле это константа -- тождественный диффеоморфизм. Значит, $g_t$ коммутирует с $h_t$. Если $m,n\in \mathbb Z$, то также $g_{mt}$ коммутирует с $h_{nt}$. Т. к. $t$ произвольно, получаем, что $g_t$ коммутирует с $h_s$, где $\frac{t}{s}\in \mathbb Q$. По непрерывности получаем утверждение.

Я, правда, мог где-то что-то опять пропустить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 12:10 


10/02/11
6786
g______d в сообщении #1020262 писал(а):
Рассмотрим семейство диффеоморфизмов
$$
g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}.
$$
Это однопараметрическая подгруппа.

нет, $ w_{t+s}\ne w_t\circ w_s,\quad w_t=g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}$

-- Ср май 27, 2015 12:15:14 --

более того $\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}w_t\equiv 0$, независимо от того коммутируют $h $ и $g$ или нет.

(Оффтоп)

В книжках, как я помню, там корни из $t$ ставят

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Жаль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 13:18 


19/03/15
291
g______d в сообщении #1019607 писал(а):
Это не определение, потому что не определён (пока) дифференциал скалярного поля.

Не замыслили вы здесь какую-нибудь бомбу? :D Дифференциал скалярного поля ... ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group