2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача о выпуклой функции.
Сообщение07.04.2008, 18:05 


29/09/06
4552
Изображение
Имеется синяя выпуклая функция $\tau(s)$, $0\le s\le L$. Мне надо её подменить красной, тоже выпуклой, "трижды кусочно-линейной" функцией $\lambda(s)$, значения и производные которой на концах совпадают с соотв. значениями $\tau(s)$ ---
$$\tau(0)=\lambda(0)=\alpha,\quad \tau(L)=\lambda(L)=\beta,\quad\tau'(0)=\lambda'(0)=k_1,\quad \tau'(L)=\lambda'(L)=k_2$$.
Подменить так, чтобы выполнялось
$$\begin{cases}
\int\limits_0^L\cos\lambda(s)ds=\int\limits_0^L\cos\tau(s)ds\\
\int\limits_0^L\sin\lambda(s)ds=\int\limits_0^L\sin\tau(s)ds,
\end{cases}
$$
что есть система двух уравнений с двумя неизвестными:
$$\begin{cases}
X(u,v)=X_0,\\
Y(u,v)=Y_0.
\end{cases}
$$
Собственно, надо доказать существование решения. Любопытен вопрос о единственности.
"Формульное обеспечение" для $X,Y(u,v)$ и производных могу вколотить (и вколочу по требованию), пока рассчитываю на подсказки-подходы.
На что-нибудь, что мне не приходит в голову.

Спасибо.

(Упрощённый случай, когда тау и лямбду можно загнать в $(-\pi,\pi)$ тоже сгодится... Цвет функций безразличен. Без огр. общн. --- $\alpha=0$, но это мелочь.)

 Профиль  
                  
 
 re
Сообщение07.04.2008, 18:45 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Система двух нелинейных уравнений. Подсказки подходы, Вы наверняка и сами знаете, метод Ньютона, метод последовательных приюлижений, Степень отображения. Я бы попробовал нарисовать кривые $X(u,v)=X_0$ $Y(u,v)=Y_0$ на плоскости (u,v). Это должно быть не сложно, функции X,Y -- это какие-то элементарные функции явно заданные. Думаю, что на качественном уровне все будет понятно. После этого можно численный метод запустить

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.04.2008, 19:41 


29/09/06
4552
Численно --- не проблема, сто раз порёшано, торможу с формальным доказательством.
zoo писал(а):
Подсказки подходы, Вы наверняка и сами знаете

Я на самом деле не профессионал в математике, как могло случайно показаться. Вот и про степень отборажения из Вашего списка не знаю (из какой это главы? почитаю-узнаю). Как показала моя предыдущая проблемка, ежели зашёл в тупик, по недообразованности ли, по усталости ли, --- надо написать на форум; даже если за тебя не решат, то подстегнут.
Действительно, почему до сих пор в $(u,v)$ не нарисовал?
Однопараметрическое семейство средних звеньев ломаной, удовл. первому уравнению...
Однопараметрическое семейство средних звеньев ломаной, удовл. второму уравнению...
И в их пересечении --- бац!

А в тамошних элементарных выражениях всё время штуки типа $\frac{\sin x}{x}$ мешают явно получить обратные выражения...

 Профиль  
                  
 
 re
Сообщение07.04.2008, 21:47 
Аватара пользователя


02/04/08
742
степень отображения -- Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу. Думаю тут это не пригодится.
А уравнение в предыдущей Вашей теме это вещь для качественного исследования благодарная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о выпуклой функции.
Сообщение13.05.2015, 19:00 


29/09/06
4552
Ну, как-то доказалось, наконец...

Утверждение начального поста можно изложить так.
Плоскую кривую длины $L$ с кривизной, монотонно изменяющейся от значения $k(0)=k_1$ до $k(L)=k_2$, можно заменить кривой, составленной из трёх гладко сoпряжённых круговых дуг с кривизнами $k_1,k_0,k_2$, и имеющей ту же длину, те же граничные точки и касательные в них.

Рис. 1: Изображение

На Рис. 1 в левой колонке вверху показан график функции $k=k(s)$, $0\le s\le L$. Это натуральное уравнение некой плоской кривой длины $L$ с кривизной, монотонно возрастающей от $k(0)=k_1$ до $k(L)=k_2$. Чисто для понта добавлена лёгкая волнистость.

Под ним прорисован график функции $\tau(s)$, описывающей угол наклона касательной к кривой: $$  \tau(s)=\tau_0+\int_{0}^{s}{k(t)}\,{dt}. \eqno(1) $$ Монотонность $k(s)$ влечёт выпуклость графика $\tau(s)$. Наклоны граничных касательных к графику равны $k_1$ и $k_2$.

Eщё ниже прорисована сама кривая $[x(s),y(s)]$: $$
  x(s)=x_0+\int_{0}^{s}{\cos\tau(t)}\,{dt},\quad
  y(s)=y_0+\int_{0}^{s}{\sin\tau(t)}\,{dt}. \eqno(2) $$ Кривая выпущена из начала координат $(x_0,y_0)=(0,0)$, касательная в начальной точке направлена вдоль оси абсцисс ($\tau_0=0$).

В правой колонке исходная функция $k(s)$ подменена кусочно-постоянной функцией $\bar{k}(s)$, также монотонной. Положение и кривизна $k_0$ промежуточного участка вычислены так, чтобы обеспечить те же граничные условия (координаты и наклоны касательных), что и у исходной кривой. График $\bar{\tau}(s)$ (бывшая $\lambda(s)$) становится при этом кусочно-линейным (и по-прежнему выпуклым), а сама кривая --- "кусочно-окружностной". Различия между оригиналом и его окружностной аппроксимацией слабо заметны: точечки, которыми представлена оригинальная кривая, лишь слегка отклонены от круговых дуг.

Рис. 2: Изображение
На Рис. 2 приведены ещё пять примеров фунций $k(s)$, монотонно возрастающих от $k_1$ до $k_2$, и их 3-ступенчатые аналоги. Им соответствуют 5 кривых во второй колонке.

У любого скучающего человека естественно возникает вопрос: а как локализованы конечные точки этих кривых?
Возможность подмены всего $\infty$-мерного пространства таких кривых трёхпараметрическим семейством тридуг позволяет скучающему человеку отмоделировать множество концевых точек тремя вложенными циклами: если $k_1,l_1$ --- кривизна и длина первой дуги, $k_0,l_0$ --- кривизна и длина промежуточной дуги, $k_2,l_2$ --- третьей, то параметрами семейства (и переменными циклов) служат $l_1$, $k_0$ и $l_2$ с ограничениями
$$
    l_1>0,\quad l_2>0,\quad l_1+l_2\le L,\quad(l_0=L-l_1-l_2\ge0),
    \quad k_1<k_0<k_2.\eqno(3)
$$
Любая современная ЭВМ способна быстренько выполнить три вложенных цикла с разумным шагом по каждой
из переменных. Справа эти пять кривых нарисованы вместе, а серые точки показывают результат моделирования,
т.е. концы тысяч других кривых этого семейства. Границы этого множества, кривые $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, угадываются лёгким напряжением мозга.

Если кривые $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ продлить за естественные границы изменения параметра, то получится Вау!, показанное на Рис. 3:

Рис. 3: Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о выпуклой функции.
Сообщение19.05.2015, 18:45 


29/09/06
4552
Ну ладно, пусть это не особо интересно, но признаки замкнутости вроде как людям всё же интересны...
Такие, чтобы обойтись без вычисления координат конечной точки кривой.
Напишу всё же и о моделировании замкнутости. Для кривых типа овала. С четырьмя вершинами.

Ежели для кривых с монотонной кривизной понадобилось 3-параметрическое семейство тридуг, то для кривых с единственной вершиной понадобится 6-параметрическое семейство 5-дужных кривых. Фиксированные параметры такой кривой с натуральным уравнением $k(s)$, $0\le s\le s_1+s_2$ --- значения $k_1,k_2,k_3,s_1,s_2$, где $k_1=k(0)$ --- начальная кривизна, $k_2=k(s_1)$ --- экстремальная кривизна, $k_3=k(s_1+s_2)$ --- кривизна в конце.

На рисунке 4 --- пример овала $ABCDA$ и вариант его натурального уравнения.

Рис. 4: Изображение

Необходимое условие гладкой замкнутости при 4-х экстремумах кривизны в пределах периода $L$
($L=L_1+L_2+L_3+L_4$) --- равенство $$ \rho_{12}+\rho_{34}=2\pi,\text{~~где~~}\rho_{12}=\int\limits_0^{L_1+L_2} \!\!k(s)\,ds,\quad\rho_{34}=\int\limits_{L_1+L_2}^L \!\!k(s)\,ds\,.$$
Зелёный прямоугольник на рисунке заключает возможные значения $\rho_{12},\rho_{34}$, связанные с "кусочной монотонностью",
типа $k_1L_1+k_3L_2<\rho_{12}< k_2(L_1+L_2)$.
Условие $\rho_{12}+\rho_{34} = 2\pi$ сужает эти оценки до синего квадрата.
А если помоделировать, то получается, что маленький красненький квадратик заключает те и только те значения $\rho_{12}$, при которых:
  • замкнутость возможна;
  • существует профиль $k(s)$ с данными параметрами $k_i,L_i$, дающий в итоге замкнутую кривую.

Мне осталось нарисовать, как это получается.

-- 19 май 2015, 19:55:51 --

Я буду ходить из точки $A$ овала в точку $C$ двумя путями.
Сначала по кривой $ABC$, с единственной вершиной в точке $B$ и с фиксированными значением $\rho_{12}$. Возьму для примеру $\rho_{12}=\pi$.

Получу жёлтое множество возможных точек $C$: $A_1B_1C_1D_1$ --- его угаданная граница. Ну и один экземплярчик из множества таких кривых прорисован на первом фрагменте рисунка.

Рис. 5: Изображение

Потом пойду по кривым $ADC$. Поскольку замкнутость требует для кривой $CDA$ поворота $\rho_{34} = 2\pi-\rho_{12}$, то для реверсированной кривой $ADC$ зафиксирую поворот $\rho_{12}-2\pi$ (у неё кривизна убывает от $-k_1$ в точке $A$ до $-k_4$ в точке $D$, потом возрастает до $-k_3$ в точке $C$).
Получаю серое множество возможных точек $C$: $A_2B_2C_2D_2$ --- его угаданная граница.

Множества пересекаются (Рис. 5, третий фрагмент). Точку $C$ можно выбрать, и кривульку замкнутую можно построить.

А возьму я, к примеру, $\rho_{12}=0.75\pi$ --- и не будет овала, т.к. не пересекаются множества:

Рис. 6: Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о выпуклой функции.
Сообщение19.05.2015, 20:31 


29/09/06
4552
Ну и мультик в заключение --- как это всё меняется при изменении $\rho_{12}$, как они сближаются, соприкасаются, пересекаются, снова соприкасаются, расходятся:

Рис. 7: Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group