2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 12:37 


17/05/15
14
Добрый день! Имеется оператор $A:L^2[0,1]\rightarrow l^2$, действующий так $(Af)_{n}=\int_{0}^{1}x^n f(x)dx$. Требуется установить непрерывность.Пытался использовать тест Шура, но никак подходящих функций подобрать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 12:47 


10/02/11
6786
а неравенство Коши-Буняковского применять не пробовали?

-- Вс май 17, 2015 12:48:38 --

оператор, кстити, не только непрерывный, но и компактный

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 13:24 


17/05/15
14
Пробовал.И вот что выходит : $\parallel Af \parallel^2 \leq \parallel f \parallel^2\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$.Что из этого получается не очень ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 14:15 


10/02/11
6786
вообще да, тут видимо посложнее

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 14:21 


17/05/15
14
Вообще,как мне представляется,действовать через оценки здесь сложно.Советовали использовать тест Шура, но опять-таки не удаётся разумно выбрать функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 19:24 


10/02/11
6786
сопряженный оператор рассмотрите и будет Вам счастье

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 21:46 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Oleg Zubelevich в сообщении #1016526 писал(а):
сопряженный оператор рассмотрите и будет Вам счастье

Там вроде бы одна из форм Гильберта возникает. Могут возникнуть затруднения.
kotopes в сообщении #1016398 писал(а):
не удаётся разумно выбрать функции.

Нужна функция и последовательность.
Попробуйте
$\varphi(x) = \frac{1}{(1-x)^\alpha}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 21:47 


10/02/11
6786
sup в сообщении #1016555 писал(а):
Там вроде бы одна из форм Гильберта возникает. Могут возникнуть затруднения.

не вижу затруднений

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 21:50 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Oleg Zubelevich в сообщении #1016557 писал(а):
не вижу затруднений

Это не удивительно. Вы же и не спрашиваете совета :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение17.05.2015, 23:22 


17/05/15
14
Пробовал $\alpha=\frac{1}{2}$,там интеграл оценивается чем-то вроде $\frac{k}{\sqrt{n}}$.Но тогда нужный ряд разойдется.При других $\alpha$ будут вообще лезть не понятно как вычислимые гамма-функции.Формами Гильберта не владею. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 06:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
$A^*A$ -- интегральный оператор в $L^2[0,1]$ с ядром $\frac{1}{1-xy}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 12:14 


17/05/15
14
$y$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, $(A^*Af)(x)=\int_0^1 (1-xy)^{-1}f(y)\,dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение18.05.2015, 14:11 


17/05/15
14
А, ну да, извиняюсь.Всем спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность оператора
Сообщение19.05.2015, 11:12 


10/02/11
6786
сопряженный оператор действует так $\ell^2\ni\{c_k\}\mapsto\sum_k c_k x^k\in L^2[0,1],\quad k=1,2,\ldots$

Т.е. последнее включение это как раз то, что надо проверить и непрерывность доказаь.
Обозначим $g(z)=\sum_k c_k z^k$. Прямой проверкой убеждаемся что $g\in L^2(S)$, где $S$ -- единичная окружность в $\mathbb{C}$ с центромм в нуле.
Имеем
$$g(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_S\frac{g(\xi)}{\xi-z}d\xi$$
Остается поменять порядок интегрирования в формуле
$$\int_{[0,1]}dz\int_Sd\xi\int_Sd\eta\frac{g(\xi)}{\xi-z}\frac{g(\eta)}{\eta-z}$$ и убедиться, что указанный тройной интеграл сходится применяя неравенство Коши.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group