2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 обратимость матриц E+BA и E+AB
Сообщение18.05.2015, 15:16 


07/04/15
244
Доказать, что если матрица $E+AB$ обратима, то матрица $E+BA$ тоже обратима.
$B(E+AB)=BE+BAB=(E+AB)B$
Пусть $C=(E+AB)^{-1}$, тогда
$$(E+AB)C=E$$
$$B(E+AB)C=B$$
$$(E+BA)BC=B$$

И тут я застрял, т.к. про обратимость $B$ ничего не известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: обратимость матриц E+BA и E+AB
Сообщение18.05.2015, 16:27 


28/05/08
284
Трантор
По-моему, в книжке Н.И. Вавилова, "Конкретная теория групп" (а может, колец?) я прочитал про общий метод, которым надо пользоваться (возможно, для этой самой задачи, я уже не помню).
Вначале мы угадываем формулу с помощью степенных рядов, а потом уже строго ее доказываем. В данном случае пользоваться будем рядом для геом. прогрессии $(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$, помня о том, что умножение матриц некоммутативно. Имеем:
$$ (E + AB)^{-1} = E - AB + (AB)(AB) - (AB)(AB)(AB) + \dots .$$
Нам хочется обратить $E + BA$, то есть получить ряд
$$ (E + BA)^{-1} = E - BA + (BA)(BA) - (BA)(BA)(BA) + \dots .$$
Теперь, если вы ряд для $(E + AB)^{-1}$ умножите слева на $B$, справа на $A$, то вы увидите, что остался лишь один шаг к нашей цели. Это даст вам догадку, как должна выглядеть формула для $(E + BA)^{-1}$. Затем эту догадку надо обосновать аккуратной выкладкой, уже без всяких рядов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group