2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обычное свойство натуральных чисел
Сообщение09.05.2015, 09:49 


24/12/13
351
Докажите , что любое натуральное число $n>23$ можно представить в виде суммы двух натуральных чисел $a$ и $b$ ($n=a+b$) с таким свойством: если $ab$ делится на некоторое простое $p$ то $\sqrt{n} \ge p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное свойство натуральных чисел
Сообщение10.05.2015, 16:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

При $n\geqslant 25$ гипотезу можно усилить: добавить ограничение $a\leqslant\sqrt{n}$. Проверил для $n\leqslant 10^5$.
Как доказывать, пока понятия не имею.
Для $n=k^2$ искомое разложение $k^2=k+k(k-1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное свойство натуральных чисел
Сообщение10.05.2015, 18:06 


24/12/13
351
А что означает $a \le \sqrt{n}$?

А насчет простого $p$, то эта задача из регионалки Ирана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное свойство натуральных чисел
Сообщение10.05.2015, 18:39 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

rightways в сообщении #1013241 писал(а):
А что означает $a \le \sqrt{n}$?
Гипотеза: любое натуральное число $n\geqslant 25$ можно представить в виде суммы двух натуральных чисел $a\leqslant\sqrt{n}$ и $b$ ($n=a+b$) с таким свойством: если $ab$ делится на некоторое простое $p$ то $\sqrt{n} \geqslant p$.

rightways в сообщении #1013241 писал(а):
А насчет простого $p$, то эта задача из регионалки Ирана.
Наверное я просто не владею какой-то техникой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное свойство натуральных чисел
Сообщение10.05.2015, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Пусть $n$ находится между двумя квадратами соседних простых чисел: $q^2\leqslant n < p^2$, причём $q\geqslant 5$ ($n=24=16+8$ рассмотрим отдельно).
От нас требуется представить $n$ в виде суммы $a+b$, где в разложении $a$ и $b$ на простые сомножители отсутствуют простые, большие $q$ (или, что то же, не меньшие $p$, т.к. $p$ — следующее за $q$ простое).

Если $n<p(p-1)$, то разделим $n$ на $p-1$ с остатком. В этом случае и делитель, и неполное частное, и остаток будут меньше $p$, что даст нам сумму $n=k(p-1)+m$ с требуемыми свойствами. Если $n=p(p-1)$, то разложение аналогично: $n=(p-1)^2+(p-1)$.

Остаются $n$ в диапазоне от $p(p-1)+1$ до $p^2-1$. Для большинства из таких $n$ используем сумму $(p+1)(p-2)+m$ (тут, конечно, мы используем то, что $p+1$ составное, в разложении которого все простые меньше $p$). Она хороша для всех $m<p$, т.е. $n\leqslant p^2-3$. Осталось представить всего 2 числа: $p^2-1$ и $p^2-2$. Для первого возьмём сумму $(p-1)^2+2(p-1)$. А вот со вторым больше всего возни. Недаром почти все числа, непредставимые требуемой в задаче суммой ($n=23$ и $n=7$) имеют именно такой вид.

Используем представление $p^2-2=(p+3)(p-3)+7$. Оно годится, если $q\geqslant 7$. Остался единственный нерассмотренный случай $q=5$, $p=7$, $n=47$, который за вредность уничтожим сразу из всех возможных орудий: $2+45$, $32+15$ и $20+27$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group