Вычисление интеграла

[Someone]

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #1011309 писал(а):

Опечатка, но наверное лучше убрать.

Спасибо. Убрал.

[Dan B-Yallay]

(Someone)

Спасибо, я свой пост тоже убрал.

[svv]

$$\int\frac {dx}{1+\sin x}=\int\frac {(1-\sin x)dx}{1-\sin^2 x}=\int\frac {dx}{\cos^2 x}+\int\frac{d(\cos x)}{\cos^2 x}=\tg x-\frac 1 {\cos x}$$

[provincialka]

ewert в сообщении #1011301 писал(а):

А вот тупой тангенс -- он быстр и эффективен, тригонометрию же можно и после убрать, если приспичит.

А "тупой диф. бином, третий случай" не сгодится?

[Aden]

С решением интегралов пришел в тупик $\[ \int {\frac{{dx}} {{x^2 \cdot \sqrt {x^2 + 1} }}} \] $
$ \[ \begin{gathered} \int {\frac{{dx}} {{x^2 \cdot \sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\frac{{dx}} {{x^3 \cdot \sqrt {1/x^2 + 1} }}} ; \hfill \\ u = 1/x^2 + 1;x = \frac{1} {{\sqrt {u - 1} }}; \hfill \\ dx = - 2\sqrt {(u - 1)^3 } du; \hfill \\ \int {\frac{{dx}} {{x^2 \cdot \sqrt {x^2 + 1} }}} = - 2\int {\frac{{\sqrt {(u - 1)^3 } du}} {{\frac{{\sqrt u }} {{\sqrt {(u - 1)^3 } }}}}} = - 2\int {\frac{{(u - 1)^3 }} {{\sqrt u }}} du; \hfill \\ \end{gathered} \] $

[Otta]

$du$ посчитайте.

[Aden]

$% \[ \begin{gathered} u = 1/x^2 + 1;du = - \frac{2} {{x^3 }}dx; \hfill \\ \frac{{dx}} {{x^3 }} = - \frac{{du}} {2}; \hfill \\ \int {\frac{{dx}} {{x^2 \cdot \sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\frac{{dx}} {{x^3 \cdot \sqrt {1/x^2 + 1} }}} = - \frac{1} {2}\int {\frac{{du}} {{\sqrt u }} = } - \frac{1} {2} \cdot 2\sqrt u = - \sqrt u = - \sqrt {1/x^2 + 1} = - \frac{{\sqrt {x^2 + 1} }} {x}; \hfill \\ \end{gathered} \] $
Так ?

[Dan B-Yallay]

Aden в сообщении #1011294 писал(а):

Спасибо, сейчас найду производную...проверю.

[Aden]

Ура...правильно.

[Dan B-Yallay]

плюсцэ

[Aden]

А можете помочь в решении еще одного интеграла ?
$ \[ \int {\frac{{dx}} {{2\sin ^2 x + 3\cos ^2 x}} = \int {\frac{{dx}} {{2\sin ^2 x + 3 - 3\sin ^2 x}}} } = \int {\frac{{dx}} {{3 - \sin ^2 x}}} ; \] $

[Lia]

Aden
А попытки решения будут в этой теме?

[Aden]

Понимаю, что нужно свести к виду $ \[ \int {\frac{{dx}} {{x^2 + a^2 }} = \frac{1} {a}arctg\frac{x} {a} + C} \] $
А вот как. Подскажите ?

[Otta]

Вы не то понимаете. Надо понимать, что давно пора взять задачник-учебник и посмотреть стандартные приемы интегрирования такого сорта функций. А Вы смотрите в ответ и пытаетесь угадать, как до него додуматься.

[мат-ламер]

Someone в сообщении #1011308 писал(а):

Поскольку задача решена, рискну предложить ещё вариант решения:

Тут сразу (не разбивая на две части) надо переходить к $\cos\left(x-\frac{\pi}2\right)}$ .

Извинияюсь, не обратил внимания, что тут ещё после этого более десяти постов.