2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нехорошая сходимость в эль-бесконечность
Сообщение04.05.2015, 18:53 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
(1) Существуют такие $x_n\in\ell^\infty$, что $\sup_{n\in\mathbb N}\|x_n\|<\infty$ и $x_n(i)\to0$ для всех $i\in\mathbb N$, но $x_n\nrightarrow0$ слабо.
(2) Существуют такие $x_n\in\ell^\infty$ и $x\in\ell^\infty$, что $\|x_n\|\to\|x\|$ и $x_n(i)\to x(i)$ для всех $i\in\mathbb N$, но $x_n\nrightarrow x$ слабо.

P.S. Здесь $\ell^\infty$ — пространство ограниченных числовых последовательностей, снабженное равномерной нормой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нехорошая сходимость в эль-бесконечность
Сообщение05.05.2015, 07:39 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Я снова смухлевал, поэтому опять под спойлер.

(Оффтоп)

Надо найти последовательность векторов и функционал, которые удовлетворяют обеим частям утверждения. После непродолжительных раздумий было выяснено, что, например, функционалы вида "умножение на сходящийся абсолютно ряд" (вложение $l^1$ в $(l^{\infty})'$) не проходят - для них из левой части (1) следует сходимость $f(x_n)$ к нулю. Значит надо что-то нетривиальное.
Нетривиальный функционал! Есть такой (см., например, лекции автора), который орты переводит в ноль, а единичный вектор - в единицу. Обозначим его $f$. Ну а дальше дело за малым:
(1) $x_n=x-\sum\limits_{k=1}^{n}e_k$, где $x$ - последовательность из единиц, $e_k$ - орт.
Эта последовательность равномерно ограничена по норме и сходится покоординатно к нулю, но $f(x_n)=f(x)=1$ для всех $n$.
(2) $x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}e_k$.
$\|x_n\|=1=\|x\|$, $x_n$ покоординатно сходится к $x$, но $f(x_n)=0\ne 1=f(x)$ $\forall n$

Надеюсь, у задачи есть менее нетривиальное решение :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нехорошая сходимость в эль-бесконечность
Сообщение05.05.2015, 07:56 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
NSKuber, Вы молодец.

(Оффтоп)

Но вот эти Ваши $e_n$ ни в какие ворота не лезут. Туда могут пролезть только $e_k$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group