2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 18:57 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Пусть чётная функция $f(z)$ аналитична в окрестности точки $0$. Нужно доказать, что в её разложении в ряд Лорана в этой окрестности будут только чётные степени $(..., \frac{1}{z^2}, 1, z^2, z^4, ...)$.
Для ряда Тейлора оно понятно — можно доказать через нечётность производной нечётного порядка.
Но здесь я сомневаюсь: если воспользоваться равенством $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(-z)^n$, можно придти к следующему:
$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_{2n+1}z^{2n+1}=0$.
Следует ли из этого, что $c_{2n+1}=0$? Если бы было конечное число членов этой суммы, то это следовало бы из линейной независимости функций $..., \frac{1}{z^3}, \frac{1}{z}, z, z^3, ...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:01 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
То есть тождественный ноль в проколотой окрестности функции раскладывается в ряд Лорана, Вами указанный. И? Многими ли способами аналитическая в кольце функция раскладывается в ряд Лорана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:11 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Otta в сообщении #1008941 писал(а):
То есть тождественный ноль в проколотой окрестности функции раскладывается в ряд Лорана, Вами указанный. И? Многими ли способами аналитическая в кольце функция раскладывается в ряд Лорана?

Нет, не тождественный ноль, а чётная функция $f(z)$ в окрестности нуля. Разложение единственно.
Равенство с суммами из $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n$ и $f(z)=f(-z)$, а затем члены с чётными степенями $z$ сокращаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Я ж Вам фактически полное решение говорю. ) У себя сами тождественный ноль найдете, ладно? И уже выписанное Вами его разложение в ряд Лорана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:28 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Otta в сообщении #1008947 писал(а):
Я ж Вам фактически полное решение говорю. ) У себя сами тождественный ноль найдете, ладно?

Ах, то бишь мы получили разложение тождественного нуля в окрестности нуля, но так как разложение единственно, а у разложения тождественного нуля в ряд Лорана все $c_n=0$, то следовательно и все $c_{2n+1}=0$, хоть они были получены и не разложением тождественного нуля в ряд Лорана, а получены из разложения в ряд Лорана чётной функции. Это длинненькое предложил сформулировал для себя, но надеюсь, что из него будет понятно, что я понял, если я правильно я понял :D Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Типа того. Только обычно короче говорят, конечно. Мол, к-ты нулевые в силу единственности разложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 22:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kink в сообщении #1008939 писал(а):
то это следовало бы из линейной независимости функций

Это как-то уж чересчур замысловато. Всё гораздо тупее: если функция $f$ -- чётная, то $f(z)\equiv\frac12(f(z)+f(-z))$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group