2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномощность прямой и плоскости
Сообщение27.04.2015, 01:11 


08/09/13
210
Здравствуйте! Слышал где-то, что множество ${\mathbb R}^2$ континуально, так же как ${\mathbb R}$. Нагуглить по этому поводу ничего не удалось, а сам над доказательством думал долго... что-то придумал, но то, что я придумал кажется сильно замудрённым, поэтому прошу знающих поделиться более-менее общепринятым доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность прямой и плоскости
Сообщение27.04.2015, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Погуглите запрос "кривые Пеано". UPD: глупость сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность прямой и плоскости
Сообщение27.04.2015, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
$\mathbb{R}$ равномощно множеству всех двоичных последовательностей. Вот попробуйте построить туда биекцию из $\mathbb{R}^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность прямой и плоскости
Сообщение27.04.2015, 01:46 


08/09/13
210
Кажется, я очень сильно затупил... Можно просто поделить единичный квадрат на 4 равных области, каждой назначить цифру, области ещё поделить по 4, и так далее... Получим для двумерной точки бесконечно циферок от 0 до 3, что есть вещественное число из $[0;1]$...
И demolishka тут как тут как только мне эта мысль уже пришла :D
Мда... извиняюсь за тупой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность прямой и плоскости
Сообщение27.04.2015, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Делить квадрат конечно можно, но что вы будете делать, если я предложу доказать следующий факт: "Если $\mathcal{X}$ имеет мощность континуума, то $\mathcal{X}^k$ также имеет мощность континуума для всякого $k \in \mathbb{N}$ (на самом деле и для $k=\infty$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномощность прямой и плоскости
Сообщение27.04.2015, 04:59 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, для любого конечного $k$ доказательство верно с точностью до постоянного коэффициента, вообще-то.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group