2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение24.04.2015, 04:33 


03/04/14
303
Здравствуйте. Что-то не могу разобраться в тривиальном, как кажется, примере.

Изображение

Это то определение (4) на стр. 74 на которое ссылка в тексте:
Изображение

1). Почему нам вообще нужно доказывать, что $0<q<1$ в степени n стремиться к $0$ при $n$ стремящемся к бесконечности? Разве это не очевидно?

2). Если мы все же беремся доказывать это утверждение, то мне не понятно, как мы перешли к неравенству $0<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$.
А именно, откуда взялся $0$? Понятно, что $q$ положительное, и значит любая ее степень всегда будет больше $0$, но тут же у нас неравенство,
на основании которого мы потом утверждаем, что $q^n$ стремиться к $0$, но почему в то же время, нижняя граница не может быть отличной от нуля?

3). Чем последнее неравенство лучше или яснее изначальной данности? Зачем нам $0<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$, если изначально было ясно, что $0<q^n<q^{n-1}$ ?

4). И еще не понятно, каким образом мы приходим к неравенству: $- \frac 1 p \cdot \frac 1 n<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$ при отрицательном $q$?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение24.04.2015, 06:49 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
bayah в сообщении #1007437 писал(а):
1). Почему нам вообще нужно доказывать, что $0<q<1$ в степени n стремиться к $0$ при $n$ стремящемся к бесконечности? Разве это не очевидно?

Видимо, автор решил это сделать строго. Хотя, по-моему, как-то странно "строго доказывать" тривиальное утверждение, используя другое не более и не менее тривиальное утверждение (стремление $\frac{1}{n}$ к нулю). Я после слов "строго" ожидал доказательства через определение предела.
bayah в сообщении #1007437 писал(а):
А именно, откуда взялся $0$? Понятно, что $q$ положительное, и значит любая ее степень всегда будет больше $0$

Вы же сами на свой вопрос ответили. Пользуемся тем, что знаем об этой последовательности, и этого оказалось достаточно для доказательства. И зачем нам тогда какая-то другая нижняя граница?
bayah в сообщении #1007437 писал(а):
3). Чем последнее неравенство лучше или яснее изначальной данности? Зачем нам $0<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$, если изначально было ясно, что $0<q^n<q^{n-1}$ ?

Тем, что автор уже знает, что $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, а изначальное неравенство вообще ничего полезного не даёт. Например, пусть $a_n=(1+\frac{1}{n})^{-n}$. Тогда $0<a_n<a_{n-1}$, но про точный предел $a_n$ отсюда ничего не извлечёшь.
bayah в сообщении #1007437 писал(а):
4). И еще не понятно, каким образом мы приходим к неравенству: $- \frac 1 p \cdot \frac 1 n<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$ при отрицательном $q$?

Проще всего навесить модуль на $q^n$ и увидеть, что мы пришли к предыдущему случаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение24.04.2015, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
В чём проблема? Очевидно то, что легко доказать.
Есть определение предела и есть некоторое утверждение. Вот и надо показать, как оно следует из определения и из других уже доказанных утверждений. А очевидно и легко - не математические категории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение24.04.2015, 16:13 


03/04/14
303
NSKuber в сообщении #1007441 писал(а):
Тем, что автор уже знает, что $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, а изначальное неравенство вообще ничего полезного не даёт. Например, пусть $a_n=(1+\frac{1}{n})^{-n}$. Тогда $0<a_n<a_{n-1}$, но про точный предел $a_n$ отсюда ничего не извлечёшь.


А, ну да. В таком случае смысл сведения к $\frac 1 n$ есть.
Так, ну а если просто сказать, что так как $q = \frac a b$, где $a<b$, то при неограниченном возведении $q$ в степень $n$, $b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться. Такое рассуждение можно считать доказательством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение24.04.2015, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
bayah в сообщении #1007566 писал(а):
Такое рассуждение можно считать доказательством?

Ни разу.
К примеру, дробь $\frac{n-1}{2n}$ с ростом $n$ растёт, а знаменатель увеливается больше, чем числитель. И уменьшаться тоже можно по-разному. Например, $1+\frac1n$ уменьшается, но к нулю не стремится.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.04.2015, 20:37 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Стартовый пост поправьте, пожалуйста. Ссылки на изображения нерабочие. По возможности, лучше вообще избегать картинок.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.04.2015, 18:15 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение26.04.2015, 00:25 


03/04/14
303
bot в сообщении #1007579 писал(а):
Ни разу.
К примеру, дробь $\frac{n-1}{2n}$ с ростом $n$ растёт, а знаменатель увеличивается больше, чем числитель. И уменьшаться тоже можно по-разному. Например, $1+\frac1n$ уменьшается, но к нулю не стремится.


Ну да, все так. Но я все же имел ввиду конкретный случай последовательности, когда $n$ - показатель степени, а основание - дробь $\frac a b$, где $a<b$. Почему именно в таком случае для доказательства не достаточно моих рассуждений? Чем тогда последовательность $\frac 1 n$ лучше, чтобы уверенно утверждать что она стремиться к $0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение26.04.2015, 05:30 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
bayah
Странный ответ: Вы "обосновываете" утверждение A о какой-то последовательности рассуждениями B, а когда вам показывают, что рассуждения B применимы к последовательности, не удовлетворяющей A, говорите, мол, ну я же для другой последовательности доказывал, всё нормально!
Ваши рассуждения - не доказательство. Сами прочитайте, что вы в итоге получили:
bayah в сообщении #1007566 писал(а):
значит $q^n$ будет уменьшаться.

bot продемонстрировал, что отсюда стремления к нулю не следует.
А $\frac{1}{n}$ лучше тем, что любой за несколько секунд сможет доказать стремление её к нулю по определению предела. Хотя в этом она совсем ненамного лучше $q^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение27.04.2015, 11:33 


03/04/14
303
NSKuber в сообщении #1008117 писал(а):
Странный ответ: Вы "обосновываете" утверждение A о какой-то последовательности рассуждениями B, а когда вам показывают, что рассуждения B применимы к последовательности, не удовлетворяющей A, говорите, мол, ну я же для другой последовательности доказывал, всё нормально!

Что-то вы меня запутали.)
Я уточнил, что мое высказывание было неверно, и предложил другое:
bayah в сообщении #1008029 писал(а):
когда $n$ - показатель степени, а основание - дробь $\frac a b$, где $a<b$. Почему именно в таком случае для доказательства не достаточно моих рассуждений? Чем тогда последовательность $\frac 1 n$ лучше, чтобы уверенно утверждать что она стремиться к $0$?


Это рассуждение верное?
Хорошо, а как доказывается стремление к $0$ дроби $\frac 1 n$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение27.04.2015, 11:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
По определению предела последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение27.04.2015, 18:38 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
bayah в сообщении #1008439 писал(а):
Это рассуждение верное?

bayah в сообщении #1008029 писал(а):
когда $n$ - показатель степени, а основание - дробь $\frac a b$, где $a<b$. Почему именно в таком случае для доказательства не достаточно моих рассуждений?

Вы про это? Это не самостоятельное рассуждение, а ссылка на предыдущее рассуждение. Взглянем на него:
bayah в сообщении #1007566 писал(а):
Так, ну а если просто сказать, что так как $q = \frac a b$, где $a<b$, то при неограниченном возведении $q$ в степень $n$, $b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться. Такое рассуждение можно считать доказательством?

Если окончательный вывод этого рассуждения - "$b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться", то вам уже привели контрпримеры, которые к нулю не стремятся, но вышенаписанному удовлетворяют. Если я неправильно понял - прошу вас чётко и ясно написать цельное рассуждение, которое, как вам кажется, доказывает требуемое стремление, и будем с ним разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение01.05.2015, 03:52 


03/04/14
303
Otta в сообщении #1008444 писал(а):
По определению предела последовательности.

А как определяется предел последовательности?
Какое строгое определение?

NSKuber в сообщении #1008580 писал(а):
Если окончательный вывод этого рассуждения - "$b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться", то вам уже привели контрпримеры, которые к нулю не стремятся, но вышенаписанному удовлетворяют. Если я неправильно понял - прошу вас чётко и ясно написать цельное рассуждение, которое, как вам кажется, доказывает требуемое стремление, и будем с ним разбираться.


Тут я все же имел ввиду $a$ и $b$ постоянные целые, не зависящие от n величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение01.05.2015, 04:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
bayah в сообщении #1009798 писал(а):
А как определяется предел последовательности?
Как предел по базе $\{\{m : m\in\mathbb N, m\geqslant n\} : n\in\mathbb N\}$. :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")
Сообщение01.05.2015, 07:52 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
bayah в сообщении #1009798 писал(а):
Тут я все же имел ввиду $a$ и $b$ постоянные целые, не зависящие от n величины.

Вы пропустили мимо половину процитированного сообщения. Напишите, пожалуйста, полностью, от начала и до конца, ваше рассуждение, которое вы считаете доказательством стремления $q^n$ к нулю и мы разберёмся, верное оно или нет, и если нет - то что конкретно не так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group